а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [0; π].

Точка P  — се­ре­ди­на ребра AD куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­ре­ди­на ребра DC при­над­ле­жит плос­ко­сти A₁C₁P.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ребра AB до плос­ко­сти A₁C₁P, если длина ребра куба равна 3.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В ок­тяб­ре пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 12 мил­ли­о­нов руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 12,5% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по сен­тябрь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в ок­тяб­ре каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на ок­тябрь преды­ду­ще­го года.

Чему будет равна пе­ре­пла­та по кре­ди­ту (в мил­ли­о­нах руб­лей) после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та, если сумма наи­боль­шей го­до­вой вы­пла­ты и наи­мень­шей го­до­вой вы­пла­ты со­ста­вит 5,75 мил­ли­о­нов руб­лей?

Через центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная сто­ро­не AC и пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны BA и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка MBN равен сумме AB + BC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если BA  =  11, BC  =  13, AC  =  12.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

Все дву­знач­ные числа, не окан­чи­ва­ю­щи­е­ся нулем, вы­пи­сы­ва­ют одно за дру­гим так, что каж­дое сле­ду­ю­щее на­чи­на­ет­ся с той же цифры, ко­то­рой окан­чи­ва­ет­ся преды­ду­щее. По­лу­ча­ет­ся не­ко­то­рое мно­го­знач­ное число.

а)  Из всех мно­го­знач­ных чисел, ко­то­рые можно по­лу­чить таким об­ра­зом, вы­би­ра­ют наи­мень­шее. Какое дву­знач­ное число при его за­пи­си будет вы­пи­са­но сем­на­дца­тым?

б)  Из всех мно­го­знач­ных чисел, ко­то­рые можно по­лу­чить таким об­ра­зом, вы­би­ра­ют наи­боль­шее. Най­ди­те его 5 по­след­них цифр.

в)  Из всех мно­го­знач­ных чисел, ко­то­рые можно по­лу­чить таким об­ра­зом, вы­би­ра­ют наи­мень­шее и наи­боль­шее. Най­ди­те их сумму.