ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 515672 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$8x в степени 6 плюс 4x в квадрате = левая круглая скобка 3x плюс 5a правая круглая скобка в кубе плюс 6x плюс 10a$

не имеет корней.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что исходное уравнение можно записать в виде

$левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка в кубе плюс 2 умножить на левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка = левая круглая скобка 3x плюс 5a правая круглая скобка в кубе плюс 2 умножить на левая круглая скобка 3x плюс 5a правая круглая скобка .$

Рассмотрим функцию $y левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в кубе плюс 2t.$

Её производная $y' левая круглая скобка t правая круглая скобка =3t в квадрате плюс 2 больше 0,$ значит, функция $y левая круглая скобка t правая круглая скобка$ является возрастающей и каждое свое значение принимает ровно один раз.

Тогда исходное уравнение равносильно квадратному уравнению

$2x в квадрате =3x плюс 5a$

$2x в квадрате минус 3x минус 5a=0,$

которое не имеет корней при

$D=9 плюс 40a меньше 0,$

$a меньше минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 40 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 40 конец дроби правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 512996: 513262 513265 515672 ...513262 513265 515672 515691 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 2. (Часть 2)

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа, Функции, зависящие от параметра

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности, Использование симметрий, оценок, монотонности, Введение замены

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь