Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 514128

Найдите все значения параметра a, при которых для любого действительного x выполнено неравенство

|3 синус x плюс a в степени 2 минус 22| плюс |7 синус x плюс a плюс 12| меньше или равно 11 синус x плюс |a в степени 2 плюс a минус 20| плюс 11

Решение.

Пусть t= синус x, тогда неравенство запишется в виде

|3t плюс a в степени 2 минус 22| плюс |7t плюс a плюс 12|\le11t плюс |a в степени 2 плюс a минус 20| плюс 11.

Поскольку  минус 1 меньше или равно синус x меньше или равно 1, нам требуется найти все значения a, при которых неравенство выполнено при  минус 1 меньше или равно t меньше или равно 1.

Рассмотрим функции f(t)=|3t плюс a в степени 2 минус 22| плюс |7t плюс a плюс 12| и g(t)=11t плюс |a в степени 2 плюс a минус 20| плюс 11. Функция f(t) — кусочно-линейная. Угловой коэффициент её звеньев не превосходит 10. Функция g(t) — линейная функция с угловым коэффициентом 11. Значит, функция g(t) минус f(t) возрастающая. Таким образом, если неравенство f(t) меньше или равно g(t) выполнено при t= минус 1, то оно выполнено при t больше или равно минус 1.

При t= минус 1 неравенство принимает вид

|a в степени 2 минус 25| плюс |a плюс 5|\le|a в степени 2 плюс a минус 20| равносильно |a плюс 5| умножить на (|a минус 4| минус |a минус 5| минус 1)\ge0.

Выражение |a плюс 5| равно нулю при a= минус 5 и больше нуля при других значениях a. Выражение |a минус 4| минус |a минус 5| минус 1 при a\ge5 равно 0, при 4 меньше a меньше 5 принимает вид 2a минус 10, при a меньше или равно 4 равно −2. Таким образом, неравенство |a плюс 5| умножить на (|a минус 4| минус |a минус 5| минус 1)\ge0 выполнено при a= минус 5;a\ge5.

 

Ответ: \{ минус 5\}\cup левая квадратная скобка 5; плюс принадлежит fty).

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2014
Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности, Использование симметрий, оценок, монотонности