Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 515786
i

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

a в квад­ра­те плюс 11|x плюс 2| плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 4x плюс 13 конец ар­гу­мен­та =5a плюс 2|x минус 2a плюс 2|

имеет хотя бы один ко­рень.
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть t=x плюс 2, тогда урав­не­ние при­мет вид a в квад­ра­те плюс 11|t| плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те плюс 9 конец ар­гу­мен­та =5a плюс 2|t минус 2a|. Пусть f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те плюс 9 конец ар­гу­мен­та плюс a в квад­ра­те минус 5a, g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =2|t минус 2a| минус 11|t|. При t > 0 функ­ция g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка убы­ва­ет от g левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка до минус бес­ко­неч­ность . При t < 0 функ­ция g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка воз­рас­та­ет от минус бес­ко­неч­ность до g левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . По­это­му мак­си­маль­ное зна­че­ние функ­ции g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =g левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =4|a|.

Функ­ция f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние при t=0: f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =a в квад­ра­те минус 5a плюс 9. При­чем f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка и убы­ва­ет на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , при­ни­мая зна­че­ния от f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка до бес­ко­неч­ность .

Чтобы было ре­ше­ние не­об­хо­ди­мо, чтобы \max левая круг­лая скоб­ка g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно \min левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть 4|a| боль­ше или равно a в квад­ра­те минус 5a плюс 9. При a\geqslant0 по­лу­ча­ем a в квад­ра­те минус 9a плюс 9 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 9 минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 9 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . При a мень­ше 0 ре­ше­ний нет.

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9 минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 9 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0

Аналоги к заданию № 512818: 512819 515786 515805 Все

Источники:
Классификатор алгебры: Урав­не­ние с мо­ду­лем, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Ис­поль­зо­ва­ние кос­вен­ных ме­то­дов, Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти, Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025