Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Разберем случаи раскрытия модулей.
1. 
Тогда уравнение примет вид 
что невозможно, поскольку
2. 
Тогда уравнение примет вид 
Заметим, что левая часть — возрастающая функция 
необходимо и достаточно, чтобы 
Первое условие дает 
Второе — 
что верно при всех неотрицательных 
3. 
Тогда уравнение примет вид 
что невозможно, поскольку
4. 
Тогда уравнение примет вид 
Заметим, что левая часть — убывающая функция причем 
необходимо и достаточно, чтобы 
или 
в зависимости от того, какое из чисел 0 или 
меньше.
Если 
и эти числа равны, получаем функцию 
положительную на левой полуоси.
Если 
то можно рассматривать любые 
и поэтому нужно, чтобы
то есть 
Однако такие a уже рассматривались, и для них корень есть.
Если 
то можно рассматривать только 
и поэтому нужно, чтобы то есть 
что очевидно невозможно при отрицательных a.
Ответ: 
а как вы пришли к тому,что a^2+6a>-9? методом перебора чисел ?
Во втором пункте решения сказано: "что верно при всех неотрицательных а". Если поставить -1, неравенство все еще верно. Из ОДЗ -1 не исключен.
Во втором пункте по условию
и 
,
то есть
, поэтому имеет смысл рассматривать только положительные значения a.
Вероятно, было бы неплохо явно указать, почему в случае 4), т.е. f(min{0;0,75a}) < 0, именно строгое неравенство (т.к. x < 0 и x < 0.75a), т.к. при первом прочтении это слегка может сбить с толку и кто-нибудь может запутаться. Ну, и, возможно, хорошо бы ссылаться на непрерывность функции f, когда используем подобные умозаключения, т.к. монотонной может быть и разрывная функция.
Непрерывность считаем очевидной, а неравенства при раскрытии модулей (а потому и неравенства на значения функции) все могли бы быть нестрогими, но тогда граничные точки проверялись бы несколько раз.