Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4.
а) Докажите, что сечение является равнобедренным остроугольным треугольником.
б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Решение. а) Сечение конуса плоскостью, содержащей его вершину S и хорду AB = 4, — треугольник ASB.
Две стороны сечения — это образующие конуса. Они равны, поэтому треугольник SAB равнобедренный. В равных прямоугольных треугольниках SOA и SOB, где O — центр основания конуса, OA = OB = 6, SO = 8, откуда
Тогда в треугольнике SAB угол S наименьший (поскольку лежит против меньшей стороны), а следовательно, острый. Два других угла равны между собой, поэтому тоже острые. Таким образом, треугольник SAB остроугольный.
б) Пусть SH — высота и медиана равнобедренного треугольника ASB, 
Тогда отрезок OH — высота и медиана равнобедренного треугольника AOB,
Прямые SH и OH перпендикулярны прямой AB, поэтому плоскость SOH перпендикулярна плоскости ASB. Следовательно, расстояние от точки O до плоскости ASB равно высоте OM прямоугольного треугольника SOH, проведённой к гипотенузе:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
— треугольник ASB. Две стороны сечения — это образующие конуса. Они равны, поэтому треугольник SAB равнобедренный. В равных прямоугольных треугольниках SOA и SOB, где О — центр основания конуса, 
откуда 
Тогда отрезок ОН — высота и медиана равнобедренного треугольника AOB, 
Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60°.
Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг трапеции, удалим мысленно одну из вершин меньшего основания и найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника, вершинами которого являются три оставшиеся вершины трапеции. 
Диагональ 
Значит, окружность описана около треугольника со сторонами 25, 15, 20. Он прямоугольный, значит, центр описанной окружности трапеции находится на большем основании, а ее радиус R = 12,5.
поэтому высота пирамиды 
Тогда объем пирамиды 
и проходящей через его середину.
SG = 1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник OGS прямоугольный. По теореме Пифагора найдем квадрат его гипотенузы: 
то есть 
где R — радиус основания, H — высота цилиндра. В данном случае 
поэтому 
откуда и следует требуемое.
Дуга AB составляет шестую часть окружности основания, поэтому 
Треугольник AOB равноcтороний, следовательно, 
как образующие конуса. Треугольник равнобедренный, значит, его углы при основании острые. Но 
Таким образом, 
поэтому точка P принадлежит кругу с центром B и радиусом BC. В обратную сторону: каждая точка круга с центром B, радиусом BC, и лежащего во второй плоскости, принадлежит шару. Таким образом, сечение есть круг.
OB — расстояние между плоскостями, равное 2.
высота 
а радиус вписанной окружности 
Значит, площадь трапеции 
Тогда площадь поверхности 
Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
равно 
Поэтому расстояния от центров оснований до хорд равны 
— середины хорд, B — проекция 
что как раз и означает, что хорды лежат по разные стороны от центров оснований, поэтому центры лежат по разные стороны от плоскости.
тоже. Поэтому
поэтому 
где x — хорда AC. Проведем OH перпендикулярно AC. В силу того, что треугольник ACO равнобедренный, точка H также будет являться серединой AC. Тогда из прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза — радиус OC, а один катет — половина этой хорды, находим второй катет OH по теореме Пифагора. 
поэтому 
значит, ABCD — квадрат.
Поскольку 
как угол, опирающийся на диаметр, 
т. е. 
параллелен вектору 
значит, 
Тогда отрезок NM лежит в плоскости yNz и 
Тогда скалярное произведение этих векторов равно нулю. Поскольку эти векторы ненулевые, они взаимно перпендикулярны.
Тогда
и BC равен 
а радиус основания равен r. Найдем координаты точек A, B и C1:
и 
а на окружности другого основания — 
— образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что 
— образующая цилиндра. Тогда 
— прямоугольник, поэтому угол между прямыми 
равен углу 
параллельная прямой BC, перпендикулярная прямым AB и 
Таким образом, прямая 
перпендикулярна плоскости 
а значит, угол 
прямой.
:
поскольку опирается на него. CB является проекцией C1B. Тогда C1B перпендикулярно AB по теореме о трёх перпендикулярах, то есть 
Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABC гипотенуза 
Следовательно, 
перпендикулярна плоскости 
Таким образом, гипотенуза AC1 прямоугольного треугольника AB1C1 вдвое больше катета. Следовательно, 
а искомый 
Точки A и B — концы образующих, M — середина SA, N — точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB. 
BC по теореме о трех перпендикулярах, поэтому SM
тогда 
Это расстояние — 
Точка M — середина образующей SA конуса, а точки 
— прямой.
угол АМВ равен 120°, откуда получаем, что углы МАВ и МВА равны 
а сторона основания 
Отсюда
Пусть эти образующие взаимно перпендикулярны. Соединим точки А и В, в равнобедренном прямоугольном треугольнике SAB гипотенуза 
Поскольку полученная длина хорды АВ меньше диаметра окружности, точки требуемым образом выбрать можно (см. прим.), потому искомое сечение — равнобедренный треугольник SAB с основанием AB, равным 
и боковыми сторонами SA и SB, равными 13.
где 
Медиана OH является высотой, поэтому, применяя теорему Пифагора к треугольнику OHA, находим:
где h — расстояние от точки A до плоскости SBC. Расстояние от точки O до плоскости SBC равно 
(поскольку O — середина CA). Это расстояние — высота OT прямоугольного треугольника SOM, которая равна 
Далее имеем: 
и 
и точка касания сферы с серединой ребра 
имеющая координаты 
удовлетворяют соответственно уравнениям:
то есть 
Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
ON = 3, 
Таким образом, в равнобедренном треугольнике MRS высота 
следовательно, треугольник тупоугольный.
Таким образом,
а значит, 
Точка M — середина образующей SA конуса, а точки 
Предоставляем читателю возможность самостоятельно решить задачу для этого случая.
В цилиндре расположены два конуса: первый с вершиной F, основанием которого является круг основания с центром O1, второй — с вершиной P, основанием которого является круг основания с центром O2.
В основаниях цилиндра и плоскости окружности пересечения конусов проведем три параллельных диаметра A1B1, A2B2 и AB соответственно. Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью A1A2B2B1. В нем конусам будут соответствовать равнобедренные треугольники A1FB1 и A2PB2, боковые стороны которых пересекаются в точках 
Из подобия треугольников AO1O2 и ADH получаем 
то есть 
Далее находим:
Угол SMO — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью SAB и плоскостью основания конуса. В прямоугольном треугольнике SMO находим: 
то 
