PDF-версии: 1. Тип 18 № 562941 
Источник: Задания 17 ЕГЭ–2023
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
Методы алгебры: Перебор случаев
Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие радикалы
i
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
Второй случай: 
при условии 
Получаем:
То есть в этом случае x = −2a при 
Корень уравнения x = −2a принадлежит отрезку [0; 1] при 
Корни уравнения 
и 
совпадают при 
Получаем, что исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при 
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек  и/или  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a     но неверно определены промежутки значений aИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений a из-за вычислительной ошибки | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен один из промежутков   или  возможно, с исключением граничных точек | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Ответ:
562941
Источник: Задания 17 ЕГЭ–2023
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
Методы алгебры: Перебор случаев
и 
совпадают при 
Объединяя результаты, получаем, что исходное уравнение 
не имеет корней;
имеет один корень 
имеет два корня 
и 
имеет один корень 
лежащая правее прямой 
Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения графика с горизонтальной прямой. Ровно одно пересечение будет при 
и 
совпадают при 
Объединяя результаты, получаем, что исходное уравнение:
не имеет корней;
имеет один корень 
имеет два корня 
и 
имеет один корень 
Корни уравнения 
или 
при условиях
Условия принимают вид 
То есть в этом случае 
при 
при условии 
Получаем: 
Условие принимает вид 
откуда 
То есть в этом случае 
при 
ровно один корень при 
и 
и/или 
но неверно определены промежутки значений a ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений a из-за вычислительной ошибки
или 
возможно, с исключением граничных точек
и 
совпадают при 
При этом 
Корни 
совпадают при 
Корни 
совпадают при 
не имеет корней;
имеет один корень 
имеет два корня 
имеет два корня 
имеет один корень 
не имеет корней.
совпадают при 
Корни 
совпадают при 
не имеет корней;
имеет один корень 
имеет два корня 
имеет два корня 
имеет один корень 
не имеет корней.
и 
совпадают при 
Корни 
совпадают при 
Корни 
совпадают при 
не имеет корней;
имеет один корень 
имеет два корня 
имеет два корня 
имеет один корень 
не имеет корней.
или 
все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу 
точки которой соответствуют нулям знаменателя. 
в уравнение 
и решая полученное уравнение на x, найдем абсциссы точки пересечения ломаной и параболы: 
Тогда 
и неравенство принимает вид
знаменатель положителен. Если 
то 
поэтому достаточно найти все а, при каждом из которых неравенство
при всех 
тогда и только тогда, когда 
Решим эту систему:
то 
Рассмотрим два случая. 
Получаем x = a. 
при условии 
Условие принимает вид 
То есть в этом случае 
при 
и 
и/или 
и 
при 
возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: x = a при 
при 
ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений a из-за вычислительной ошибки
при 
возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: x = a при 
заключаем, что Гипербола 
и прямая 
пересекаются в точках 
и 
Поэтому в системе координат xOy графиком полученной системы будет объединение прямой 
лежащих не ниже прямой 
прямая 
проходит через точку D, при 
— через точку С. Подставим координаты точки D, получим:
имеет один корень:
(соответствующая прямая выделена на рисунке синим) или 
(выделено зеленым). При 
или при 
прямая пересекает гиперболу в двух точках. Если 
то прямая и гипербола не имеют общих точек.
прямая 
— общую точку A(−2; 5). Тогда исходная система:
имеет одно решение;
— два решения;
— три решения;
— два решения;
— одно решение;
— два решения;
— три решения.
или 
и дуги окружности радиуса 2 с центром в точке 
лежащей не ниже прямой 
является пучок прямых, проходящих через точку 
и прямая 
и 
имеет одно решение;
не имеет решений;
имеет одно решение;
— два решения;
— три решения;
— два решения;
или 
и дуги окружности радиуса 3 с центром в точке 
лежащей не ниже прямой 
является пучок прямых, проходящих через точку 
и прямая 
и 
имеет одно решение;
не имеет решений;
имеет одно решение;
или 
расположенную не выше прямой 
Найдем абсциссу вершины параболы: 
тогда 
и 
имеет всегда одну общую точку с прямой 
так как не параллельна ей, следовательно, система будет иметь два различных решения в двух случаях: 
).
имеет одно решение. Выполним преобразования:
имеет единственное решение, x = 5. Проверим, что при x = 5 точка касания лежит не ниже прямой 
имеет 2 различных решения. Имеем:
— верно.
тогда 
Имеем:
получаем: 
откуда 
либо является решением системы: 
при условии 
и найдём количество корней получившегося уравнения в зависимости от a. 
откуда 
при условии 
Дискриминант этого уравнения равен 
имеет два корня при 
имеет единственный корень x = 4 при 
и не имеет корней при 
функция 
принимает наименьшее значение при x = 4, и это значение отрицательно. Следовательно, больший корень уравнения 
удовлетворяет условию 
тогда и только тогда, когда 
откуда 
удовлетворяет условию 
откуда 
Число 
является корнем квадратного уравнения 
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при 
заключаем, что парабола 
и прямая 
пересекаются в точках 
и 
Поэтому в системе координат xOy графиком полученной системы будет объединение прямой 
лежащих не выше прямой 
имеет один корень:
Значит, при этом значении параметра прямая 
имеет только одну общую точку с параболой 
выделена на рисунке красным. 
выделена на рисунке зеленым
выделена на рисунке синим.
имеет одно решение;
— два решения;
— три решения ;
— два решения;
— одно решение.
или 
расположенную не ниже прямой 
Найдем точки пересечения прямой 
и гиперболы 
— это невертикальная прямая, проходящая через точку (0; −14). Если a < 0, то 
так как коэффициенты различны. Чтобы узнать, пересекает ли прямая 
гиперболу 
решим уравнение 
и 
но поскольку a < 0, то 
следовательно, с правой частью гиперболы 
прямая 
— эта прямая параллельна оси x, следовательно, имеет с гиперболой 
Если с гиперболой нет общих точек, то решений не более 1 и такая ситуация не подходит. 
равен нулю:
(при a > 0). Если 
то 
— 
— два различных решения.
имеет два различных решения. Выполним преобразования:
Его дискриминант равен 
Если D > 0, то 
— всего 2 решения, a = 4 подходит. Если D < 0, то всего 1 решение, что не подходит.
и должно выполняться 
чтобы было 2 решения. Имеем:
должен быть больше или равен 
а корень 
должен быть меньше 
Если 
то (1) верно, а (2) преобразится в 
то получим, что 
Если 
то (1) и (2) верно — 
подходит. Если 
то (2) верно, а (1) преобразуется в 
то 
задает прямую 
Система 
расположенную не выше прямой 
и параболы 
найдем из уравнения
задает семейство прямых, проходящих через точку (−1; 0). Если a = 1, то прямая 
В этом случае должно иметь единственное решение уравнение 
При a = −1 находим: x = 3, соответствующая прямая изображена красным цветом. При a = −17 абсцисса точка касания x = −5 < 0, то есть точка касания не лежит на графике Г1.
графики Г1 и Г2 пересекаются лишь в одной точке, лежащей во второй четверти на прямой 
вторая лежит в четвертой четверти и является точкой касания с параболой. 
(прямая изображена лиловым) графики Г1 и Г2 пересекаются ровно в двух точках, обе из которых принадлежат параболе.
графики имеют три точки пересечений, две из которых лежат на параболе, а третья лежит на прямой 
(случай 
изображен зеленым) графики Г1 и Г2 пересекаются ровно в двух точках, одна из которых лежит на параболе, а вторая лежит на прямой 
у графиков Г1 и Г2 имеется лишь одна общая точка, она лежит во второй четверти на прямой 
задает прямую 
В этом случае должно иметь единственное решение уравнение
При a = −2 находим: x = 2, соответствующая прямая изображена красным цветом. При a = −14 абсцисса точки касания x = −4 < 0, то есть точка касания не лежит на графике Г1.
графики Г1 и Г2 пересекаются лишь в одной точке, лежащей во второй четверти на прямой 
графики имеют три точки пересечения, две из которых лежат на параболе, а третья лежит на прямой 
(случай 
изображен зеленым) графики Г1 и Г2 пересекаются ровно в двух точках, одна из которых лежит на параболе, а вторая лежит на прямой 
у графиков Г1 и Г2 имеется лишь одна общая точка, она лежит во второй четверти на прямой 
и гиперболы 
Графиком второго уравнения является прямая, параллельная прямой 
и проходящая через точку 
пересекаются при любом a, поэтому ровно два решения система будет иметь в случае, когда прямая 
касается гиперболы или проходит через одну из точек пересечения гиперболы и прямой 
и гиперболы: 
и 
соответственно.
и 
пересекаются при любом a, поэтому система имеет два решения тогда и только тогда, когда прямая 
касается дуги тогда, когда уравнение
Получаем:
прямая 
а также пересекает один раз дугу, следовательно, исходная система имеет ровно два различных решения.
и части графика 
лежащей ниже этой прямой (выделено оранжевым). При 
это отрезок AD прямой 
где 
— точка прямой с абсциссой 
а 
— точка её пересечения с 
При 
функция имеет вид 
её график это отрезок AB, где 
— точка прямой с абсциссой 
При 
это отрезок BC прямой 
где 
— точка её пересечения с 
) и когда она лежит между прямыми, проходящими через точку C (включая) и точку D (исключая). Через точку C прямая проходит при 
а через точку D — при 
Откуда и следует ответ.
лежащей ниже этой прямой (выделено оранжевым). При 
это отрезок AD прямой 
где 
— точка прямой с абсциссой 
а 
— точка её пересечения с 
функция имеет вид 
её график это отрезок AB, где 
— точка прямой с абсциссой 
При 
это отрезок BC прямой 
где 
— точка её пересечения с 
) и когда она лежит между прямыми, проходящими через точку C (включая) и точку D (исключая). Через точку C прямая проходит при 
а через точку D — при 
Откуда и следует ответ.
имеет корни (хотя бы один), из которых ровно один отрицательный.
является парабола с вершиной в точке 
проходящая через точки 
и 
Условию 
удовлетворяют все точки, лежащие левее прямой 
включая саму прямую, условию 
удовлетворяют все точки лежащие правее прямой 
включая саму прямую. Таким образом, графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения, является парабола 
уравнение не имеет корней;
уравнение имеет единственный корень 
что удовлетворяет условию задачи;
уравнение имеет два отрицательных корня;
уравнение имеет один отрицательный корень, что удовлетворяет условию задачи; 
уравнение имеет два отрицательных корня;
уравнение имеет два корня, ровно один из которых отрицательный, что удовлетворяет условию задачи.
при 
и/или 
возможно, с выключением граничных точек или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
относительно точек при 
и 
возможно с выключением граничных точек 
имеет хотя бы одно решение.
где 
поскольку 
Найдем множество значений функции 
на отрезке [0; 2]. 
на промежутке [0; 2), поэтому функция убывает на отрезке [0; 2], и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок 
то есть отрезок 
Таким образом, уравнение 
имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия 
где 
и рассмотрим функцию 
Ее производная 
и 
Таким образом, приходим к системе 
на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположение графика этой функции и прямой 
неверные из-за неверной оценки введенной переменной 
в силу сделанных оценок множеством значений функции t(x) является отрезок [0; 1]. Переформулируем задачу: требуется найти все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
и найдём множество её значений на этом отрезке. Для этого найдем производную, отметим на рисунке знаки производной и поведение функции:
на отрезке, будучи непрерывной на нем. Следовательно, она принимает все значения, лежащие между значениями на концах отрезка, и только их. Поскольку
на отрезке 
Решим это двойное неравенство:
и/или 
при 
и задача сведена к решению двойного неравенства 
и получено, что 
и 
то получаем уравнение
лежащего в третьей координатной четверти и имеющий вершину в начале координат. 
то получаем уравнение
Случаю удовлетворяет только дуга, лежащая выше оси Ox и расположенная между прямыми 
и 
и 
Случаю удовлетворяет только дуга, лежащая правее оси Oy и заключенная между прямыми 
и 
и 
и 
Случаю удовлетворяют лучи этих прямых, расположенные вне полос 
и 
прямая m пересекает график Г в трех точках точках, а значит, исходная система имеет три решения.
или при 
и 
то получаем уравнение: 
то получаем уравнение: 
и 
и/или 
поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением 
отрезка AB прямой 
дуги 
параболы 
с концами в точках B и C и дуги 
параболы 
с концами в точках A и C (см. рис.). 
прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений. 
прямая m касается дуг 
прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг 
прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги 
отвечает этому требованию для обеих парабол.
и 
то получаем уравнение: 
то получаем уравнение:
и 
или 
и 
соответственно, поэтому искомое множество состоит из прямой l, лучей l1 и l2, лежащих на прямой 
с началами в точках A и B соответственно, дуги ω1 параболы 
с концами в точках A и C и дуги ω2 параболы 
с концами в точках B и C (см. рис.). 
прямая m касается парабол 
прямая m содержит лучи l1 и l2 то есть исходная система имеет бесконечное число решений.
прямая m не имеет общих точек с лучами l1 и l2, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет ровно три решения. 
прямая m пересекает прямую l в одной точке и не имеет общих точек с дугами ω1 и ω2 и лучами l1 и l2, то есть исходная система имеет единственное решение. Значит, исходная система имеет больше двух решений при 
