Ост­рый угол B пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен 21°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла между бис­сек­три­сой CD и ме­ди­а­ной CM, про­ведёнными из вер­ши­ны пря­мо­го угла C. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­но, что BC  =  9, CD  =  3, CC₁  =  7. Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, C, D, C₁.

Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Изу­мруд» иг­ра­ет два матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих мат­чах ко­ман­да «Изу­мруд» начнёт игру с мячом не боль­ше од­но­го раза.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в пер­вом ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,1. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся во вто­ром ав­то­ма­те, такая же. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в двух ав­то­ма­тах, равна 0,05. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в двух ав­то­ма­тах.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции f (x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 5). В какой точке от­рез­ка [−5; −2] функ­ция f (x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий моль воз­ду­ха при дав­ле­нии ат­мо­сфе­ры, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоёма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го дав­ле­ния Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где   — по­сто­ян­ная, К  — тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Най­ди­те, какое дав­ле­ние (в атм) будет иметь воз­дух в ко­ло­ко­ле, если при сжа­тии воз­ду­ха была со­вер­ше­на ра­бо­та в 29430 Дж.

Катя и Настя про­па­лы­ва­ют гряд­ку за 24 ми­ну­ты, а одна Настя  — за 42 ми­ну­ты. За сколь­ко минут про­па­лы­ва­ет гряд­ку одна Катя?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние f(3).

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На рёбрах AC, AD, BD и BC тет­ра­эд­ра ABCD от­ме­че­ны точки K, L, M и N со­от­вет­ствен­но, причём Четырёхуголь­ник KLMN  — квад­рат со сто­ро­ной 2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AB и CD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны B до плос­ко­сти KLM, если объём тет­ра­эд­ра ABCD равен 25.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2023 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — в ян­ва­ре каж­до­го года долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом;

  — с фев­ра­ля по июнь нужно вы­пла­тить часть долга одним пла­те­жом.

Сколь­ко руб­лей пла­ни­ру­ет­ся взять в банке, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года), а общая сумма вы­плат равна 375 000 руб­лей?

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те длину от­рез­ка AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 34, а BC  =  32.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет на от­рез­ке [0; 4] ровно один ко­рень.

Де­ре­вян­ную ли­ней­ку, длина ко­то­рой вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом сан­ти­мет­ров, раз­ре­за­ют на куски. За один ход можно взять один или не­сколь­ко кус­ков ли­ней­ки, по­ло­жить их друг на друга и раз­ре­зать каж­дый из них на две части, длины ко­то­рых вы­ра­жа­ют­ся целым чис­лом сан­ти­мет­ров.

а)  Можно ли за че­ты­ре хода раз­ре­зать ли­ней­ку дли­ной 16 см на куски дли­ной 1 см?

б)  Можно ли за пять ходов раз­ре­зать ли­ней­ку дли­ной 100 см на куски дли­ной 1 см?

в)  Какое наи­мень­шее число ходов нужно сде­лать, чтобы раз­ре­зать ли­ней­ку дли­ной 200 см на куски дли­ной 1 см?