Ост­рый угол В пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен 66°. Най­ди­те угол между вы­со­той СН и ме­ди­а­ной СМ, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, D, A₁, B, C, B₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да у ко­то­ро­го

В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что орел вы­па­дет ровно один раз.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют жвач­ку. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся жвач­ка, равна 0,4. Ве­ро­ят­ность того, что жвач­ка за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,2. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня жвач­ка оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 11). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−10; 10].

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни моль воз­ду­ха объeмом л, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоeма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го объeма Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем (Дж), где — по­сто­ян­ная, а — тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Какой объeм (в лит­рах) ста­нет за­ни­мать воз­дух, если при сжа­тии газа была со­вер­ше­на ра­бо­та в 10 350 Дж?

Один ма­стер может вы­пол­нить заказ за 12 часов, а дру­гой  — за 6 часов. За сколь­ко часов вы­пол­нят заказ оба ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте?

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние f (−8).

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан тет­ра­эдр ABCD. Точки K, L, M, N лежат на реб­рах AC, AD, DB и BC со­от­вет­ствен­но, так, что че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — квад­рат со сто­ро­ной 2, AK : KC  =  2 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти KLМN, если из­вест­но, что объем тет­ра­эд­ра ABCD равен 25.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2023 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга.

Сколь­ко руб­лей пла­ни­ру­ет­ся взять в банке, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен тремя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за три года) и общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 65 500 руб­лей боль­ше суммы, взя­той в кре­дит?

Точка В лежит на от­рез­ке АС. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром BC в точке M и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром АВ в точке K. Про­дол­же­ние от­рез­ка МВ пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром AB в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и МC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка DBC, если AK  =  5 и KM  =  25.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень.

Дано на­ту­раль­ное число. К этому числу можно либо при­ба­вить утро­ен­ную сумму его цифр, либо вы­честь утро­ен­ную сумму его цифр. После при­бав­ле­ния или вы­чи­та­ния суммы цифр, число долж­но остать­ся на­ту­раль­ным.

а)  Можно ли по­лу­чить из числа 128 число 29?

б)  Можно ли по­лу­чить из числа 128 число 31?

в)  Какое наи­мень­шее число можно было по­лу­чить из числа 128?