В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.
Решение. а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, а следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.
б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда 
или 
но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен 
откуда 
Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, равен 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
и ∠KMN = 45°.
или 
но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен 
откуда 
BAC + 
а 
тогда 
и 
Треугольник BOC равнобедренный. Следовательно,
Отношение площадей 
В треугольнике ABC имеем:
тогда вокруг ACNM можно описать окружность, тогда 
как угол, опирающийся на одну дугу, что и требовалось доказать.
тогда 
Тогда 
поскольку является центральным углом, опирающимся на ту же дугу окружности, что и угол BAC. В равнобедренном треугольнике BOC получаем 
а в прямоугольном треугольнике BAH получаем 
Таким образом, 
Значит,
а 
но величины 
и 
составляют половины величин 
и 
а значит, 
Тогда 
и 
равны, и, значит, сумма противоположных углов четырехугольника BDOE равна 180°. Следовательно, около него можно описать окружность.
а значит, 
Углы 
и 
равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около четырехугольника BDOE. Имеем:
Таким образом, треугольник ABC прямоугольный и его площадь равна 
Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около 
если 
Значит, треугольники ANM и ABC подобны с коэффициентом подобия 
Точки M и N лежат на окружности с диаметром AH, поэтому 
равна 180°, поэтому 
Тогда 
(центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Тогда из суммы углов равнобедренного треугольника AOB: 
Поэтому 
По теореме синусов для треугольника ABC:
и 
воспользуемся формулой для расстояния от вершины до ортоцентра 
Полученные величины равны, что и требовалось доказать.
Тогда 
Сумма острых углов прямоугольного треугольника ACM равна 90°, поэтому 
Тогда 
поскольку катет, лежащий против угла в 30°, в два раза меньше гипотенузы. Сумма острых углов прямоугольного треугольника AKB равна 90°, поэтому 
По теореме синусов для треугольника ABC: 
где R — радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности. Откуда 
Ранее мы получили: 
Следовательно, 
Четырехугольник MHNA вписан в окружность с диаметром AH, тогда по теореме синусов для треугольника MNA имеем: 
Подставляя, получаем:
Тогда 
Тогда 
Из доказанного в пункте a) имеем, что 
Тогда 
Из доказанного в пункте a) имеем, что 
Найдите B1C1.
AC = 1.
если К1 лежит вне окружности и 
если К1 лежит внутри окружности. Значит, точки К и К1 совпадают, откуда следует, что НМ = МК.
значит, треугольник КСВ — равнобедренный и прямоугольный. Отрезок ВК является диаметром окружности, поэтому 
Поэтому треугольники AB1C1 и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, коэффициент подобия равен 
Значит, BC = 2B1C1 = 24, BD = 12.
а угол KLM равен 120°.
отсюда
и четырёхугольник KLMO вписан в окружность.
отсюда получаем:
По теореме синусов получаем: 
раз больше радиуса описанной около треугольника ABC окружности с центром O. 
Заметим, что 
следовательно, высота треугольника KBM равна R. 
откуда 
Это может быть только в том случае, если точки C и H совпадают. Следовательно, условию задачи удовлетворяет равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой AB = 6. Решение задачи приведено для общего случая.
следовательно, 
что и требовалось доказать.
и 
равны, значит, BC = AD, HC = HD. Из условия получаем, что 
Пусть BH = x, HD = y, тогда
поэтому получаем 
Из треугольника АВС находим, что 
AB = 8. Поскольку 
получаем
и 
следовательно, 
Значит, 
а значит, 
Тогда 
как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому 
следовательно, прямые AB и CD параллельны.
Тогда 
и DH = CH, поскольку треугольник CHD тоже равнобедренный. Находим: 
Найдите радиус описанной окружности треугольника ВКС, если сумма радиусов окружностей ω1 и ω2 равна 
и 
следовательно, 
Аналогично OH1 — радиус ω1 и 
тогда
получаем, что 
Тем самым точки B, C, K лежат на одной окружности с диаметром O1O2. Значит, ее радиус равен 5.
Тогда равны и хорды AL = LB, а потому радиус LO — медиана и выcота треугольника ALB (поскольку точка O — середина стороны AB).
Заметим еще, что 
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, откуда 
Тогда прямая KM является касательной к окружности, описанной около треугольника BMP.
откуда 
а значит, 
Треугольники BOP и BCA подобны, поэтому 
следовательно, 
и 
По свойству биссектрисы 
следовательно, 
Тогда 
как радиусы, следовательно, медиана OH перпендикулярна хорде DD1.
и 
Значит, 
и 
откуда 
Находим:
а сумма расстояний от центра окружности O до сторон AC и BC равна 
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
тогда 
по свойству угла между касательной и секущей. В треугольнике BCK по теореме о сумме углов получаем:
и 
Значит, 
прямой.
Аналогично расстояние от точки O до катета BC равно 
Используем теорему Пифагора и имеющиеся данные:
тогда 
Продолжение высоты ВТ треугольника АВС пересекает эту окружность в точке М.
Тогда отрезки ML и AC параллельны, ведь они перпендикулярны хорде BM. Тогда 
как накрест лежащие углы, но 
как вписанные углы, то есть 
как вписанные и
тогда CL = 4, LB = 2. По теореме о пересекающихся хордах получаем:
то есть 
Воспользуемся формулой Герона:
Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P. 
откуда
тогда
откуда
Далее последовательно получаем:
поэтому
