Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В треугольнике KLM биссектрисы внешних углов при вершинах K и M пересекаются в точке N. Через точки K, N и M проведена окружность с центром в точке O.
а) Докажите, что точки K, L, M и O лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KLM, если площадь треугольника KMO равна 
а угол KLM равен 120°.
Решение.
Спрятать критерии
а) Пусть ∠KLM = α. Тогда 
отсюда
Следовательно, 
и четырёхугольник KLMO вписан в окружность.
б) Поскольку ∠KLM = 120°, ∠KOM = 60°. Тогда 
отсюда получаем:
Заметим, что треугольник KOM равносторонний, следовательно, 
По теореме синусов получаем:
Ответ: б) 6.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника