Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, а BH — высота этого треугольника.
а) Докажите, что углы ABH и CBO равны.
б) Найдите BH, если 
Решение.
Спрятать критерииа) Обозначим угол BAC через
Тогда 
поскольку является центральным углом, опирающимся на ту же дугу окружности, что и угол BAC. В равнобедренном треугольнике BOC получаем 
а в прямоугольном треугольнике BAH получаем 
Таким образом, 
б) Пусть M — середина отрезка BC. Прямоугольные треугольники BAH и BOM подобны, поскольку 
Значит,
Ответ: б) 12.
Источники:
Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и треугольники, Подобие
Вот алгебраическое решение.
Пусть AC=a, AB=b, BC=c, BH=h, BO=R=>h=R.
S(ABC)=abc/4R=ah/2, тогда bc/2R=h, откуда bc/2h=h, то есть
h^2=bc/2=16*18/2=16*9=4^2*3^2=12^2,
а значит, h=12.