Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 541825
i

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 120° . Пря­мые, со­дер­жа­щие вы­со­ты BM и CN тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что AH  =  AO.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AHO, если BC  =  3, \angle ABC=15 гра­ду­сов.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По тео­ре­ме си­ну­сов имеем: BC=2AO умно­жить на синус 120 гра­ду­сов = AO ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Че­ты­рех­уголь­ник MHNA впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром AH, тогда по тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MNA имеем:

MN =2R умно­жить на синус 120 гра­ду­сов=AH умно­жить на синус 120 гра­ду­сов = AH умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Тре­уголь­ни­ки MAN и BAC по­доб­ны, по­сколь­ку

дробь: чис­ли­тель: MA, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AN, зна­ме­на­тель: AC конец дроби = ко­си­нус 60 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

тогда MN= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BC. Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AH = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AO умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но AH=AO.

 

б)  По тео­ре­ме о впи­сан­ном угле \angle COA = 2 \angle ABC = 2 умно­жить на 15 гра­ду­сов= 30 гра­ду­сов. Тогда

\angle CAO = дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов минус 30 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =75 гра­ду­сов,

а \angle ACB = 180 гра­ду­сов минус 120 гра­ду­сов минус 15 гра­ду­сов= 45 гра­ду­сов = \angle CAE. Тогда \angle HAO = 180 гра­ду­сов минус левая круг­лая скоб­ка 75 гра­ду­сов минус 45 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка = 150 гра­ду­сов. Из до­ка­зан­но­го в пунк­те a) имеем, что

AH=AO= дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка:

S_AHO = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те умно­жить на синус 150 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 541381: 541825 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 27.03.2020. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 2
Методы геометрии: Тео­ре­ма си­ну­сов, Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка, По­до­бие, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025