Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 508320
i

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AP и CQ.

а)  До­ка­жи­те, что угол PAC равен углу PQC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что PQ  =  8 и ∠ABC  =  60°.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Углы APC и AQC  — пря­мые, зна­чит, точки A, Q, P и C лежат на одной окруж­но­сти с диа­мет­ром AC, а сле­до­ва­тель­но, равны и впи­сан­ные углы PAC и PQC этой окруж­но­сти, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу PC, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABP и CBQ имеют общий угол ABC, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да дробь: чис­ли­тель: BQ, зна­ме­на­тель: BP конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: BA конец дроби или дробь: чис­ли­тель: BQ, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BP, зна­ме­на­тель: BA конец дроби , но тогда и тре­уголь­ни­ки BAC и BPQ также по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен дробь: чис­ли­тель: BQ, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BP, зна­ме­на­тель: BA конец дроби = ко­си­нус \angle ABC, от­ку­да AC= дробь: чис­ли­тель: PQ, зна­ме­на­тель: ко­си­нус \angle ABC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 60 гра­ду­сов конец дроби =16. Тогда ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, равен R= дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: 2 синус \angle ABC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 2 синус 60 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 508320: 508393 509404 511508 ... Все

Источник: Проб­ный ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Пе­тер­бург 2015. Ва­ри­ант 1
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025