Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Отрезок AP — диаметр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что прямая HP пересекает отрезок BC в его середине.
б) Луч PH вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке M. Найдите длину отрезка MC1, если расстояние от центра этой окружности до прямой BC равно 4, ∠BPH = 120°.
а) Проведем отрезки PB и PC (см. рис. слева). Отрезок AP — диаметр, поэтому углы PCA и PBA — прямые. Отсюда следует, что прямая BB1 параллельна прямой PC, а прямая СС1 параллельна прямой PB. Тогда BPCH — параллелограмм, а его диагонали BC и PH точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.
б) Пусть K — середина BC, O — центр окружности (см. рис. справа). Треугольник OBC равнобедренный с основанием BC, поэтому OK — его высота. Отрезок OK — средняя линия треугольника AHP, а значит, AH = 2OK = 8. Четырехугольник AC1HM вписан в окружность с диаметром AH, тогда
Применим теорему синусов:
Ответ: 