Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­сы AD и CE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, ве­ли­чи­на угла AOC со­став­ля­ет 120°.

а)  До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка BDOE можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если BC=4, а \angle BED=75 гра­ду­сов.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  В тре­уголь­ни­ке AOC \angle OAC плюс \angle OCA=180 гра­ду­сов минус 120 гра­ду­сов=60 гра­ду­сов, но ве­ли­чи­ны \angle OAC и \angle OCA со­став­ля­ют по­ло­ви­ны ве­ли­чин \angle BAC и \angle BCA, а зна­чит, \angle BAC плюс \angle BCA=2 умно­жить на 60 гра­ду­сов=120 гра­ду­сов. Тогда \angle ABC=180 гра­ду­сов минус левая круг­лая скоб­ка \angle BAC плюс \angle BCA пра­вая круг­лая скоб­ка =60 гра­ду­сов.

Вер­ти­каль­ные углы \angle EOD и \angle AOC равны, и, зна­чит, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов че­ты­рех­уголь­ни­ка  BDOE равна 180°. Сле­до­ва­тель­но, около него можно опи­сать окруж­ность.

б)  В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­сы пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, зна­чит, BO  — бис­сек­три­са угла \angle ABC, а зна­чит, \angle DBO= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle ABC=30 гра­ду­сов. Углы \angle DBO и \angle DEO равны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу окруж­но­сти, опи­сан­ной около че­ты­рех­уголь­ни­ка BDOE. Имеем:

1)  \angle AEO=180 гра­ду­сов минус левая круг­лая скоб­ка \angle BED плюс \angle DEO пра­вая круг­лая скоб­ка =180 гра­ду­сов минус левая круг­лая скоб­ка 75 гра­ду­сов плюс 30 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка =75 гра­ду­сов;

2)  \angle EAO=\angle AOC минус \angle AEO=120 гра­ду­сов минус 75 гра­ду­сов=45 гра­ду­сов, по тео­ре­ме о внеш­нем угле тре­уголь­ни­ка;

3)  \angle BAC=2 умно­жить на \angle EAO=90 гра­ду­сов. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный и его пло­щадь равна S= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AB умно­жить на AC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BC ко­си­нус ⁡ 60 гра­ду­сов умно­жить на BC синус ⁡ 60 гра­ду­сов=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 525410: 525455 Все

Источник: Проб­ный ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, Санкт-Пе­тер­бург, 19.03.2019. Ва­ри­ант 1
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025