Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 561178
i

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са угла A пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке D. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка ACD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник CDE рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE, если AB  =  8, BC  =  7, AC  =  6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Дуги DE и CD равны, по­сколь­ку на них опи­ра­ют­ся рав­ные впи­сан­ные углы DAE и DAC, зна­чит, равны и стя­ги­ва­ю­щие их хорды DE и DC, тре­уголь­ник DCE рав­но­бед­рен­ный по опре­де­ле­нию.

б)  Из тре­уголь­ни­ка ABC по тео­ре­ме ко­си­ну­сов най­дем

ко­си­нус \angle BAC= дробь: чис­ли­тель: AB в квад­ра­те плюс AC в квад­ра­те минус BC в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на AB умно­жить на AC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 64 плюс 36 минус 49, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 8 умно­жить на 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 32 конец дроби .

Че­ты­рех­уголь­ник AEDC впи­сан в окруж­ность, зна­чит, его про­ти­во­ле­жа­щие углы в сумме дают 180°. Имеем:

синус \angle CDE= синус \angle BAC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те \angle BAC конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 32 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби .

По тео­ре­ме о бис­сек­три­се внут­рен­не­го угла тре­уголь­ни­ка

BD:CD=AB:AC=8:6,

от­ку­да на­хо­дим, что CD  =  DE  =  3. Те­перь найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE:

S_CDE= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби CD умно­жить на DE умно­жить на синус \angle CDE= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 3 умно­жить на 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 63 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 64 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 63 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 64 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 561178: 561230 Все

Источник: Проб­ный ва­ри­ант ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 18.03.21 Санкт-Пе­тер­бург. Ва­ри­ант №1
Методы геометрии: Свой­ства бис­сек­трис, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025