Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.
а) Докажите, что ∠CAN = ∠CMN.
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если 
а) Заметим, что 
тогда вокруг ACNM можно описать окружность, тогда 
как угол, опирающийся на одну дугу, что и требовалось доказать.
б) Углы MAN и MCB равны как опирающиеся на одну дугу MN. Тогда треугольники ANB и CBM подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен отношению сторон AB и BC, то есть 5 : 4. Тогда и радиусы относятся так же.
Ответ: 5 : 4.
Приведем другое решение пункта б).
б) Пусть 
тогда 
поэтому получаем:
По теореме синусов
откуда
Пункт б) можно решить сильно проще:
Угол MAN равен углу MCB как опирающиеся на дугу MN. Треугольники ANB и CBM подобны по 2-м углам. Коэффицент - AB к BC, 5/4. Тогда и радиусы относятся как 5/4
Опубликовали. Спасибо!