Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность ра­ди­у­сом 8. Из­вест­но, что AB = BC = CD = 12.

а)  До­ка­жи­те,что пря­мые BC и AD па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те AD.

Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность ра­ди­у­сом 10. Из­вест­но, что AB  =  BC  =  CD  =  6.

а)  До­ка­жи­те,что пря­мые BC и AD па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те AD.

Окруж­ность с цен­тром О₁ ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний ВС и AD и бо­ко­вой сто­ро­ны АВ тра­пе­ции ABCD. Окруж­ность с цен­тром O₂ ка­са­ет­ся сто­рон ВС, CD и AD. Из­вест­но, что АВ  =  10, ВС  =  9, CD  =  30, AD  =  39.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая О₁О₂ па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции АВСD.

б)  Най­ди­те О₁О₂.

В тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми ВС и AD углы ABD и ACD пря­мые.

а)  До­ка­жи­те, что АВ  =  CD.

б)  Най­ди­те AD, если AB  =  2, BC  =  7.

Окруж­ность с цен­тром О₁ ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний ВС и AD и бо­ко­вой сто­ро­ны АВ тра­пе­ции ABCD. Окруж­ность с цен­тром O₂ ка­са­ет­ся сто­рон ВС, CD и AD. Из­вест­но, что АВ  =  30, ВС  =  24, CD  =  50, AD  =  74.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая О₁О₂ па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции АВСD.

б)  Най­ди­те О₁О₂.

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны A, B и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD и пе­ре­се­ка­ет BC и CD в точ­ках E и K со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AE и AK равны.

б)  Най­ди­те AD, если CE  =  48, DK  =  20,

Окруж­ность с цен­тром в точке O вы­се­ка­ет на всех сто­ро­нах тра­пе­ции ABCD рав­ные хорды.

а)  До­ка­жи­те, что бис­сек­три­сы всех углов тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в одной и той же точке.

б)  Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, если окруж­ность пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вую сто­ро­ну AB в точ­ках K и L так, что AK  =  15, KL  =  6, LB  =  5.

Окруж­ность с цен­тром в точке O вы­се­ка­ет на всех сто­ро­нах тра­пе­ции ABCD рав­ные хорды.

а)  До­ка­жи­те, что бис­сек­три­сы всех углов тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в одной и той же точке.

б)  Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, если окруж­ность пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вую сто­ро­ну AB в точ­ках K и L так, что AK  =  11, KL  =  10, LB  =  4.

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны A, B и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точ­ках B и E и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точ­ках K и D.

а)  До­ка­жи­те, что AE  =  AK.

б)  Най­ди­те AD, если CE  =  10 , DK  =  9 и

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны A, B и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точ­ках B и E и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точ­ках K и D.

а)  До­ка­жи­те, что AE = AK.

б)  Най­ди­те AD, если CE =12 , DK = 2 и

Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, а BH  — вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка.

а)  До­ка­жи­те, что углы ABH и CBO равны.

б)  Най­ди­те BH, если

Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, а BH  — вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка.

а)  До­ка­жи­те, что углы ABH и CBO равны.

б)  Най­ди­те BH, если

Точка Е  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BС квад­ра­та АВСD. Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к от­рез­кам АЕ и ЕС пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те BO : OD.

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны и C па­рал­ле­ло­грам­ма и пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние сто­ро­ны AD в точке E, а про­дол­же­ние сто­ро­ны CD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки BE и BK равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние KE к AC, если