Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 541381

В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

а) Докажите, что AH = AO.

б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = корень из 15 , \angle ABC=45 градусов.

Спрятать решение

Решение.

а) По теореме синусов имеем: BC=2AO умножить на синус 120 градусов = AO корень из 3. Четырехугольник MHNA вписан в окружность с диаметром AH, тогда по теореме синусов для треугольника MNA имеем:

MN =2R умножить на синус 120 градусов=AH умножить на синус 120 градусов = AH умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Треугольники MAN и BAC подобны так как

 дробь: числитель: MA, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: AN, знаменатель: AC конец дроби = косинус 60 градусов = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,

тогда MN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC. Подставляя получаем,

 дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби AH = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AO умножить на корень из 3 равносильно AH=AO.

б) По теореме о вписанном угле \angle BOA = 2 \angle ACB = 2 умножить на 15 градусов= 30 градусов. Тогда

\angle BAO = дробь: числитель: 180 градусов минус 30 градусов, знаменатель: 2 конец дроби =75 градусов,

а \angle BAH = 180 градусов минус 45 градусов = 135 градусов. Тогда  \angle HAO = 360 градусов минус 135 градусов минус 75 градусов = 150 градусов. Из доказанного в пункте a) имеем, что

AH=AO= дробь: числитель: BC, знаменатель: корень из 3 конец дроби = дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: корень из 3 конец дроби = корень из 5.

Найдем площадь треугольника

S_AHO = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из 5 в квадрате умножить на синус 150 градусов = дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .

 

 

 

Ответ:  дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 541381: 541825 Все

Источник: ЕГЭ по математике 27.03.2020. Досрочная волна. Вариант 1, Задания 16 ЕГЭ–2020
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Чупин Максим 04.01.2021 12:22

В ответе на пункт б) указано число 5/4. По опыту, за такой ответ ставят 0 баллов, так как дробь неправильная, а в данном случае 5/4 можно записать и в десятичном виде. Стоит дать ответ 1 целая 1/4 или 1,25.

Служба поддержки

У вас ложная информация. Это задание оценивается в три балла. Поэтому если бы и был допущен недочет в форме записи ответа, эксперт выставил бы 2 балла, но никак не 0. Грамотный эксперт при правильном решении этой непростой задачи по геометрии не снизит оценку и за ответ  дробь: числитель: 10, знаменатель: 8 конец дроби . Почему? В частности, потому, что в общем случае сокращение дробей отдельная непростая задача (вот не самый сложный пример:  дробь: числитель: 5887, знаменатель: 24389 конец дроби ), а отделить дроби, которые надо сокращать, от дробей, которые сокращать необязательно, невозможно.

Второе: выделение целой части принято в средней школе из методических соображений. Чтобы учащиеся, впервые познакомившиеся с понятием дробь, могли соотносить новые для них дробные выражения с уже изученными целыми числами. В старшей школе, как и в высшей математике, этого не требуется. Неправильная дробь  дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ничуть не «хуже», а зачастую и предпочтительнее смешанной дроби  целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 4 . Скажем, не принято писать  целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 4 умножить на Пи , пишут  дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби Пи или  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Десятичные же дроби математики и вовсе не используют. Разве что решая экономические или инженерные задачи. Но и тогда лишь потому, что так принято в соответствующих областях знания.

Чупин Максим 05.01.2021 19:58

Уважаемая служба поддержки, спасибо за исчерпывающий ответ и примеры, с которыми я согласен. Однако есть опыт и практика: если числовой ответ в заданиях второй части давать в виде неправильной дроби, то эксперты снижают балл на 1. Именно поэтому я и поднял вопрос. Эксперты нынче очень строгие.

Служба поддержки

Вначале вы сообщали, что 0 ставят, теперь говорите, что снижают на 1 балл. Нет. Нет и не может быть такой практики, а ваше предложение идет вразрез с устоявшейся математической традицией. Откройте учебники алгебры для 10−11 классов, сборники заданий для подготовки к ЕГЭ, пособия для поступающих в вузы, учебники высшей математики — посмотрите в них ответы к упражнениям. Неправильные дроби в смешанные не переводятся. Здесь нет даже повода для споров. Причем тут строгие нынче эксперты или жалостливые? Экспертам и в голову не придет снижать оценку за использование неправильных дробей. В дополнение к вышесказанному еще и потому, что перед ними лежат критерии проверки работ, разработанные ФИПИ, в которых неправильные дроби используются, а смешанные нет. Неправильные дроби использовать можно и нужно. Это не дискуссионный вопрос, это общепринято.