Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 541381
i

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 120°. Пря­мые, со­дер­жа­щие вы­со­ты BM и CN тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что AH  =  AO.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AHO, если BC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , \angle ABC=45 гра­ду­сов.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По тео­ре­ме си­ну­сов имеем: BC=2AO умно­жить на синус 120 гра­ду­сов = AO ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Че­ты­рех­уголь­ник MHNA впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром AH, тогда по тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MNA имеем:

MN =2R умно­жить на синус 120 гра­ду­сов=AH умно­жить на синус 120 гра­ду­сов = AH умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Тре­уголь­ни­ки MAN и BAC по­доб­ны, по­сколь­ку

 дробь: чис­ли­тель: MA, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AN, зна­ме­на­тель: AC конец дроби = ко­си­нус 60 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

тогда MN= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BC. Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AH = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AO умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но AH=AO.

б)  По тео­ре­ме о впи­сан­ном угле \angle BOA = 2 \angle ACB = 2 умно­жить на 15 гра­ду­сов= 30 гра­ду­сов. Тогда

\angle BAO = дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов минус 30 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =75 гра­ду­сов,

а \angle BAH = 180 гра­ду­сов минус 45 гра­ду­сов = 135 гра­ду­сов. Тогда  \angle HAO = 360 гра­ду­сов минус 135 гра­ду­сов минус 75 гра­ду­сов = 150 гра­ду­сов. Из до­ка­зан­но­го в пунк­те a) имеем, что

AH=AO= дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка:

S_AHO = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те умно­жить на синус 150 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 541381: 541825 Все

Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма си­ну­сов, Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка, По­до­бие
Чупин Максим 04.01.2021 12:22

В от­ве­те на пункт б) ука­за­но число 5/4. По опыту, за такой ответ ста­вят 0 бал­лов, так как дробь не­пра­виль­ная, а в дан­ном слу­чае 5/4 можно за­пи­сать и в де­ся­тич­ном виде. Стоит дать ответ 1 целая 1/4 или 1,25.

Служба поддержки

У вас лож­ная ин­фор­ма­ция. Это за­да­ние оце­ни­ва­ет­ся в три балла. По­это­му если бы и был до­пу­щен не­до­чет в форме за­пи­си от­ве­та, экс­перт вы­ста­вил бы 2 балла, но никак не 0. Гра­мот­ный экс­перт при пра­виль­ном ре­ше­нии этой не­про­стой за­да­чи по гео­мет­рии не сни­зит оцен­ку и за ответ  дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . По­че­му? В част­но­сти, по­то­му, что в общем слу­чае со­кра­ще­ние дро­бей от­дель­ная не­про­стая за­да­ча (вот не самый слож­ный при­мер:  дробь: чис­ли­тель: 5887, зна­ме­на­тель: 24389 конец дроби ), а от­де­лить дроби, ко­то­рые надо со­кра­щать, от дро­бей, ко­то­рые со­кра­щать не­обя­за­тель­но, не­воз­мож­но.

Вто­рое: вы­де­ле­ние целой части при­ня­то в сред­ней школе из ме­то­ди­че­ских со­об­ра­же­ний. Чтобы уча­щи­е­ся, впер­вые по­зна­ко­мив­ши­е­ся с по­ня­ти­ем дробь, могли со­от­но­сить новые для них дроб­ные вы­ра­же­ния с уже изу­чен­ны­ми це­лы­ми чис­ла­ми. В стар­шей школе, как и в выс­шей ма­те­ма­ти­ке, этого не тре­бу­ет­ся. Не­пра­виль­ная дробь  дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ни­чуть не «хуже», а за­ча­стую и пред­по­чти­тель­нее сме­шан­ной дроби  целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 . Ска­жем, не при­ня­то пи­сать  целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на Пи , пишут  дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби Пи или  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Де­ся­тич­ные же дроби ма­те­ма­ти­ки и вовсе не ис­поль­зу­ют. Разве что решая эко­но­ми­че­ские или ин­же­нер­ные за­да­чи. Но и тогда лишь по­то­му, что так при­ня­то в со­от­вет­ству­ю­щих об­ла­стях зна­ния.

Чупин Максим 05.01.2021 19:58

Ува­жа­е­мая служ­ба под­держ­ки, спа­си­бо за ис­чер­пы­ва­ю­щий ответ и при­ме­ры, с ко­то­ры­ми я со­гла­сен. Од­на­ко есть опыт и прак­ти­ка: если чис­ло­вой ответ в за­да­ни­ях вто­рой части да­вать в виде не­пра­виль­ной дроби, то экс­пер­ты сни­жа­ют балл на 1. Имен­но по­это­му я и под­нял во­прос. Экс­пер­ты нынче очень стро­гие.

Служба поддержки

Вна­ча­ле вы со­об­ща­ли, что 0 ста­вят, те­перь го­во­ри­те, что сни­жа­ют на 1 балл. Нет. Нет и не может быть такой прак­ти­ки, а ваше пред­ло­же­ние идет враз­рез с усто­яв­шей­ся ма­те­ма­ти­че­ской тра­ди­ци­ей. От­крой­те учеб­ни­ки ал­геб­ры для 10−11 клас­сов, сбор­ни­ки за­да­ний для под­го­тов­ки к ЕГЭ, по­со­бия для по­сту­па­ю­щих в вузы, учеб­ни­ки выс­шей ма­те­ма­ти­ки — по­смот­ри­те в них от­ве­ты к упраж­не­ни­ям. Не­пра­виль­ные дроби в сме­шан­ные не пе­ре­во­дят­ся. Здесь нет даже по­во­да для спо­ров. При­чем тут стро­гие нынче экс­пер­ты или жа­лост­ли­вые? Экс­пер­там и в го­ло­ву не при­дет сни­жать оцен­ку за ис­поль­зо­ва­ние не­пра­виль­ных дро­бей. В до­пол­не­ние к вы­ше­ска­зан­но­му еще и по­то­му, что перед ними лежат кри­те­рии про­вер­ки работ, раз­ра­бо­тан­ные ФИПИ, в ко­то­рых не­пра­виль­ные дроби ис­поль­зу­ют­ся, а сме­шан­ные нет. Не­пра­виль­ные дроби ис­поль­зо­вать можно и нужно. Это не дис­кус­си­он­ный во­прос, это об­ще­при­ня­то.