Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C впи­сан в окруж­ность. Бис­сек­три­са угла A пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке A1, бис­сек­три­са угла  B пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке B1, бис­сек­три­са угла  C пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке C1.

a) До­ка­жи­те, что угол A1BB1  =  45°.

б)  Из­вест­но, что AB=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , \angle A=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­ди­те B1C1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Углы A1BC и A1AC равны как впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу. Сле­до­ва­тель­но,

\angle A_1BB_1=\angle A_1AC плюс \angle CBB_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle A плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle B = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка \angle A плюс \angle B пра­вая круг­лая скоб­ка =45 гра­ду­сов.

б)  Вы­чис­лим угол B:

\angle B=90 гра­ду­сов минус \angle A = 30 гра­ду­сов.

Вы­чис­лим угол B1A1A:

\angle B_1A_1A=\angle B_1BA= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 30 гра­ду­сов =15 гра­ду­сов.

Вы­чис­лим угол AA1C1:

\angle AA_1C_1=\angle ACC_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 90 гра­ду­сов = 45 гра­ду­сов,

таким об­ра­зом, \angle B_1A_1C_1=60 гра­ду­сов.

По тео­ре­ме си­ну­сов имеем:

B_1C_1=2R синус \angle B_1A_1C_1,

где R  — это ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка A1B1C1. окруж­но­сти и 2R  =  AB.

Таким об­ра­зом,

B_1C_1=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =3.

 

Ответ: б) 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма си­ну­сов, Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Ком­би­на­ции фигур, Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025