СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 526342

В остроугольном треугольнике ABC, Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около

а) Докажите, что

б) Найдите площадь если

Решение.

Точки M и N лежат на окружности диаметром BC, поэтому Значит, треугольники ANM и ABC подобны с коэффициентом подобия

Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника ANM, равен Точки M и N лежат на окружности диаметром AH, поэтому

б) Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому Тогда (центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Тогда из суммы углов равнобедренного треугольника : Поэтому

Имеем: . По теореме синусов для треугольника ABC:

Откуда и

 

Ответ: б)

 

 

Примечание Дмитрия Гущина.

Задания, в которых требуется использовать связь между стороной треугольника и расстоянием от противолежащей ей вершины до ортоцентра встречаются на ЕГЭ не первый раз. См., например, задание 519475 (2018 год), задание 505425 (2014 год) и задания в этом задачнике. Используем эти знания для решения пункта а).

Найдем радиус описанной окружности по теореме синусов: воспользуемся формулой для расстояния от вершины до ортоцентра Полученные величины равны, что и требовалось доказать.

 

 

Приведём другое решение пункта а).

а) Высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому высота AK проходит через точку H. Пусть , Тогда Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому Тогда , т.к. катет, лежащий против угла в 30°, в два раза меньше гипотенузы. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому По теореме синусов для треугольника : где R − радиус описанной вокруг треугольника окружности. Откуда Ранее мы получили: Следовательно, , т.е. .

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 405, Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 409, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Методы геометрии: Свойства ортоцентра, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники