а)  Про­ве­дем вы­со­ту AA₁. Че­ты­рех­уголь­ник BC₁B₁C впи­сан­ный, по­сколь­ку углы BC₁C и CB₁B пря­мые, по­это­му углы BB₁C₁ и BCC₁ равны как опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу. Углы BCC₁ и ABC и BAH и ABC в сумме дают 90°, сле­до­ва­тель­но, углы BAH и BCC₁ равны, то есть равны углы BAH и BB₁C₁. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Ос­но­ва­ния высот и тре­тья вер­ши­на тре­уголь­ни­ка об­ра­зу­ют тре­уголь­ник, по­доб­ный дан­но­му с ко­эф­фи­ци­ен­том, рав­ным мо­ду­лю ко­си­ну­са их об­ще­го угла, по­это­му

По обоб­щен­ной тео­ре­ме си­ну­сов:

Пусть OM  — рас­сто­я­ние от цен­тра опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти до сто­ро­ны BC. OM лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к BC. Тогда из тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра MOC най­дем OM:

Ответ:б)