Пря­мые, со­дер­жа­щие ка­те­ты AC и CB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АСВ, яв­ля­ют­ся об­щи­ми внут­рен­ни­ми ка­са­тель­ны­ми к окруж­но­стям ра­ди­у­сов 2 и 4. Пря­мая, со­дер­жа­щая ги­по­те­ну­зу АВ, яв­ля­ет­ся их общей внеш­ней ка­са­тель­ной.

а)  До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка внут­рен­ней ка­са­тель­ной, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны остро­го угла тре­уголь­ни­ка до одной из окруж­но­стей, равна по­ло­ви­не пе­ри­мет­ра тре­уголь­ни­ка АСВ.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АСВ.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом C из­вест­ны сто­ро­ны AC = 12, BC = 5. Окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром O на сто­ро­не BC про­хо­дит через вер­ши­ну C. Вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся ка­те­та AC, ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка, а также внеш­ним об­ра­зом ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти мень­ше, чем длины ка­те­та AC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти.

Окруж­ность, по­стро­ен­ная на ме­ди­а­не BM рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­ре, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние BC в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок BK втрое боль­ше от­рез­ка CK.

б)  Пусть ука­зан­ная окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке N. Най­ди­те AB, если BK  =  18 и BN  =  17.

Окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC, рав­ных со­от­вет­ствен­но 10 и 24.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC  — пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те вы­со­ту, опу­щен­ную из вер­ши­ны пря­мо­го угла тре­уголь­ни­ка ABC.

Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, I  — центр впи­сан­ной в него окруж­но­сти, H  — точка пе­ре­се­че­ния высот. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точка I лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BOC.

б)  Най­ди­те угол OIH, если

Точки A₁, B₁ и C₁  — се­ре­ди­ны сто­рон со­от­вет­ствен­но BC, AC и AB ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что от­лич­ная от A₁ точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков A₁CB₁ и A₁BC₁, лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка B₁AC₁.

б)  Из­вест­но, что AB  =  AC  =  10 и BC  =  12. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков A₁CB₁, A₁BC₁ и B₁AC₁.

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и делит каж­дую из сто­рон AB и BC на три рав­ные части.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну BC.

В тре­уголь­ни­ке ABC точки A₁, B₁ и C₁  — се­ре­ди­ны сто­рон BC, AC и AB со­от­вет­ствен­но, AH  — вы­со­та,

а)  До­ка­жи­те, что A_1, B₁, C₁ и H лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те A₁H, если

Внев­пи­сан­ная окруж­ность рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся его бо­ко­вой сто­ро­ны.

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­ус этой окруж­но­сти равен вы­со­те тре­уголь­ни­ка, опу­щен­ной на его ос­но­ва­ние.

б)  Из­вест­но, что ра­ди­ус этой окруж­но­сти в 4 раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка. В каком от­но­ше­нии точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти с бо­ко­вой сто­ро­ной тре­уголь­ни­ка делит эту сто­ро­ну?

Точка I  — центр окруж­но­сти S₁, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, точка O  — центр окруж­но­сти S₂, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BIC.

а)  До­ка­жи­те, что точка O лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла BAC, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC от­но­сит­ся к ра­ди­у­су окруж­но­сти S₂ как 3 : 5.

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми и Точки M и N  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и AC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся одной из сред­них линий.

б)  Най­ди­те общую хорду окруж­но­стей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник ABC, а вто­рая опи­са­на около тре­уголь­ни­ка AMN.

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AC  =  30, BC  =  40 и AB  =  50. Впи­сан­ная в него окруж­ность с цен­тром I ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке L, M  — се­ре­ди­на BC, AP  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка ABC, O  — центр опи­сан­ной около него окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что P  — се­ре­ди­на от­рез­ка LM.

б)  Пусть пря­мые OI и AC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, а про­дол­же­ние бис­сек­три­сы AP пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке Q. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка OKCQ.

Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­рон AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AC в точ­ках M и P, при­чем

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если а центр окруж­но­сти лежит на вы­со­те к сто­ро­не BC.

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са угла B пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность этого тре­уголь­ни­ка в точке F. Точка E  — центр окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся сто­ро­ны АС и про­дол­же­ний сто­рон AB и BC (внев­пи­сан­ной окруж­но­сти). Точка O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AF и OF равны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка CF, если OE  =  14.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы BM и CN. Ока­за­лось, что точки B, C, M и N лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Пусть P   — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка ABC. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка AMPN, если MN : BC  =  2 : 5, а BN  =  14.

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны B и C тре­уголь­ни­ка ABC и пе­ре­се­ка­ет AB и AC в точ­ках C₁ и B₁ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку AB₁C₁.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус дан­ной окруж­но­сти, если ∠A  =  45°, B₁C₁  =  6 и пло­щадь тре­уголь­ни­ка AB₁C₁ в во­семь раз мень­ше пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка BCB₁C₁.

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны В и С тре­уголь­ни­ка АВС и пе­ре­се­ка­ет АВ и АС в точ­ках С₁ и В₁ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВC по­до­бен тре­уголь­ни­ку АВ₁С₁

б)  Вы­чис­ли­те ра­ди­ус дан­ной окруж­но­сти, если и пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВ₁С₁ в че­ты­ре раза мень­ше пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка ВСВ₁С₁.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту CC₁ и ме­ди­а­ну AA₁. Ока­за­лось, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AA₁ : CC₁  =  4 : 3 и A₁C₁  =  6.

Точка О₁  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка АВС, а точка О₂  — центр внев­пи­сан­ной окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся ос­но­ва­ния ВС.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны от­рез­ка О₁О₂ до точки С вдвое мень­ше О₁О₂.

б)  Из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти в пять раз мень­ше ра­ди­у­са вто­рой. В каком от­но­ше­нии точка ка­са­ния пер­вой окруж­но­сти с бо­ко­вой сто­ро­ной тре­уголь­ни­ка делит эту сто­ро­ну?

В окруж­но­сти с цен­тром O про­ве­де­на хорда AB, на ко­то­рой вы­бра­на точка M. Вто­рая окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка MAO, по­втор­но пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  MK.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка OMK, если OM  =  11 и BK  =  12.

Точки D и E  — се­ре­ди­ны сто­рон AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC со­от­вет­ствен­но. На от­рез­ке DE как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность, пе­ре­се­ка­ю­щая про­дол­же­ния сто­рон AC и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что бис­сек­три­сы углов MEN и NDM пе­ре­се­ка­ют­ся на этой окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те MN, если из­вест­но, что AB  =  14, BC  =  10, AC  =  6.

Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом C. Про­ве­де­на вы­со­та CH. На сто­ро­нах AC и BC со­от­вет­ствен­но от­ме­че­ны точки M и N так, что угол MHN пря­мой.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки MNH и ABC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те BN, если

Окруж­ность с цен­тром О, по­стро­ен­ная на ка­те­те AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­ре, пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу AB в точ­ках A и D. Ка­са­тель­ная, про­ве­ден­ная к этой окруж­но­сти в точке D, пе­ре­се­ка­ет катет BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  CM.

б)  Пря­мая DM пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке P, пря­мая OM пе­ре­се­ка­ет пря­мую BP в точке K. Най­ди­те BK : KP, если

Пря­мая, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ну M сто­ро­ны BC тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AC в точке K, причём

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ме­ди­а­ну MN тре­уголь­ни­ка CKM, если BC  =  20, CK  =  8.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке K, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда MN боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке C. Хорды KM и KN пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках A и B со­от­вет­ствен­но, а от­рез­ки KC и AB пе­ре­се­ка­ют­ся в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те MN, если а ра­ди­ус малой окруж­но­сти равен

Окруж­ность с цен­тром в точке C ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и пе­ре­се­ка­ет его ка­те­ты AC и BC в точ­ках E и F. Точка D  — ос­но­ва­ние вы­со­ты, опу­щен­ной из вер­ши­ны C. Точки O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ACD и BCD.

а)  До­ка­жи­те, что O₁ и O₂ лежат на от­рез­ке EF .

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой O₁O₂, если AC  =  15 и BC  =  20.

Окруж­ность с цен­тром O₁ ра­ди­у­сом 9 впи­са­на в тре­уголь­ник АBC. Ее внеш­ним об­ра­зом ка­са­ют­ся окруж­ность с цен­тром O₂ ра­ди­у­сом впи­сан­ная в угол A, и окруж­ность с цен­тром O₃ ра­ди­у­сом 1, впи­сан­ная в угол С.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AO₁O₃.

В окруж­но­сти с цен­тром О от­ре­зок ЕК  — диа­метр. Хорды ЕT и KS про­ве­де­ны так, что точки Т и S лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой EK. Точка пе­ре­се­че­ния пря­мых КT и ES на­хо­дит­ся от точек T и S на рас­сто­я­нии 5,

а)  До­ка­жи­те, что точка пе­ре­се­че­ния пря­мых КT и ES на­хо­дит­ся вне окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

Окруж­ность с цен­тром в точке С ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы АВ пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и пе­ре­се­ка­ет его ка­те­ты AC и BC в точ­ках E и F. Точка D  — ос­но­ва­ние вы­со­ты, опу­щен­ной из вер­ши­ны С. Точки O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ВСD и АСD.

а)  До­ка­жи­те, что точки O₁ и O₂ лежат на от­рез­ке EF.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до пря­мой O₁O₂, если и

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность с цен­тром в точке O, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB в точке К. Окруж­ность в точке O₁ ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB в точке L, а также про­дол­же­ний сто­рон АС и ВС.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка AOBO₁ можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ков AOBO₁ и KOLO₁, если из­вест­но, что AB  =  8, AC  =  6, BC  =  10.

Точка O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, точки O₁, O₂, O₃ цен­тры внев­пи­сан­ных окруж­но­стей, ка­са­ю­щих­ся сто­рон ВС, АС, АВ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точка O яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка O₁O₂O₃.

б)  Най­ди­те угол А тре­уголь­ни­ка ABC, если от­ре­зок OO₁ ко­ро­че от­рез­ка O₂O₃ ровно в два раза.

В тре­уголь­ни­ке ABC точка D лежит на сто­ро­не BC. B тре­уголь­ни­ки ABD и ACD впи­са­ны окруж­но­сти, и к ним про­ве­де­на общая внеш­няя ка­са­тель­ная (от­лич­ная от BC), пе­ре­се­ка­ю­щая AD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка AK не за­ви­сит от по­ло­же­ния точки D на BC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка АК, если пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 20, а сто­ро­на BC равна 5.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са AD. В тре­уголь­ни­ки ADC и ADB впи­са­ны окруж­но­сти с дли­на­ми ра­ди­у­сов 3 и 8 со­от­вет­ствен­но, ка­са­ю­щи­е­ся от­рез­ка AD в точ­ках М и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный точ­кой D и цен­тра­ми дан­ных окруж­но­стей пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми дан­ных окруж­но­стей, если ND  =  ⁠4.

Точка O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Пря­мая BO вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APC, если из­вест­но, что ра­ди­ус его опи­сан­ной окруж­но­сти равен 8, а

Внут­ри тре­уголь­ни­ка ABC, в ко­то­ром вы­бра­на точка Q такая, что S_ABQ : S_ACQ : S_CBQ  =  1 : 2 : 4. Пря­мые CQ и AQ пе­ре­се­ка­ют сто­ро­ны AB и BC со­от­вет­ствен­но в точ­ках K и L. Из­вест­но, что точки A, K, L и C лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния от точки Q до цен­тра впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 7.

Из точки A к окруж­но­сти про­ве­де­ны ка­са­тель­ная AM (M  — точка ка­са­ния) и се­ку­щая, пе­ре­се­ка­ю­щая окруж­ность в точ­ках K и L, при­чем точка L лежит между A и K, а тре­уголь­ник AMK  — ост­ро­уголь­ный. Рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды KM равно по­ло­ви­не ра­ди­у­са окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что угол AMK равен 60°.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMK, если AL : LK  =  4 : 3 и ра­ди­ус окруж­но­сти равен 

Точка О  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС. На луче АО за точ­кой О вы­бра­на точка Р так, что

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ОРС, если BC  =  24,