Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 529300
i

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са угла B пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность этого тре­уголь­ни­ка в точке F. Точка E  — центр окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся сто­ро­ны АС и про­дол­же­ний сто­рон AB и BC (внев­пи­сан­ной окруж­но­сти). Точка O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AF и OF равны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка CF, если OE  =  14.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Углы FAC и FBC равны как впи­сан­ные, AO  — бис­сек­три­са, по­это­му

\angle BAO=\angle OAC,

\angle FOA=\angle OBA плюс \angle OAB=\angle FAC плюс \angle OAC=\angle FAO,

зна­чит, тре­уголь­ник FAO рав­но­бед­рен­ный, по­это­му OF=AF.

б)  Точка E лежит на пе­ре­се­че­нии бис­сек­три­сы угла B и бис­сек­три­сы внеш­не­го угла A. Имеем:

\angle OAE= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle BAC плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус \angle BAC пра­вая круг­лая скоб­ка =90 гра­ду­сов,

сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник OAE пря­мо­уголь­ный. Далее, AF=FO, зна­чит, AF  — ме­ди­а­на. Найдём её:

AF= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби OE=7.

Те­перь рас­смот­рим тре­уголь­ник AFC:

\angle ACF=\angle ABF=\angle FBC=\angle FAC,

зна­чит, AF=FC=7.

 

Ответ: 7.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 289
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Ком­би­на­ции фигур, Окруж­но­сти, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025