Точка I — центр окружности S1, вписанной в треугольник ABC, точка O — центр окружности S2, описанной около треугольника BIC.
а) Докажите, что точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.
б) Найдите косинус угла BAC, если радиус описанной окружности треугольника ABC относится к радиусу окружности S2 как 3 : 5.
а) Обозначим 
Поскольку I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, получаем, что 
Дуга BC окружности S2, не содержащая точки I, вдвое больше вписанного в эту окружность угла BIC, 
Сумма углов при вершинах A и O четырехугольника ABOC равна 180°, значит, этот четырехугольник вписанный. Следовательно, точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.
б) Пусть r и R — радиусы описанной окружности треугольника ABC и окружности S2 соответственно. По теореме синусов:
Значит,
откуда 
Следовательно, 
Ответ: 