Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 514731
i

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и делит каж­дую из сто­рон AB и BC на три рав­ные части.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну BC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рис. 1

а)  Пусть окруж­ность делит сто­ро­ну AB на три рав­ные части (рис. 1)

AK_1 = K_1K_2 = K_2B = x

и делит сто­ро­ну BC на три рав­ные части

CL_1 = L_1L_2 = L_2B = y.

Тогда по свой­ству се­ку­щих

BK_1 умно­жить на BK_2 = BL_1 умно­жить на BL_2 рав­но­силь­но 2x в квад­ра­те = 2y в квад­ра­те рав­но­силь­но x=y,

от­ку­да по­лу­ча­ем:

AB = BC.

 

б)  Пусть окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC тре­уголь­ни­ка ABC в точке M (рис. 2). По­сколь­ку

Рис. 2

AM в квад­ра­те = AK_1 умно­жить на AK_2 = 2x в квад­ра­те ,

по­лу­ча­ем:

AM = MC = x ко­рень из 2 .

Пусть AH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка, тогда

HC = AC умно­жить на ко­си­нус \angle ACB = дробь: чис­ли­тель: AC умно­жить на MC, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x;

 

BH = BC минус HC = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x.

Таким об­ра­зом, BH : HC = 5 : 4.

 

Ответ: б) 5 : 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026