Точки D и E — середины сторон AC и BC треугольника ABC соответственно. На отрезке DE как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжения сторон AC и BC в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что биссектрисы углов MEN и NDM пересекаются на этой окружности.
б) Найдите MN, если известно, что AB = 14, BC = 10, AC = 6.
а) Пусть P — середина меньшей дуги MN. Тогда по теореме о вписанном угле DP — биссектриса угла NDM, а PE — биссектриса угла MEN. Значит, эти биссектрисы действительно пересекаются на окружности, а именно в точке P.
б) Запишем теорему косинусов для треугольника ABC. Получим равенство:
Отсюда 
то есть 
Тогда 
а значит, 
Следовательно, треугольник MCN подобен треугольнику BCA с коэффициентом 
откуда 
Ответ: 3,5.