СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 509823

Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.

а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.

б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17.

Решение.

а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = . Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда

(*),
причём:

Подставляя полученные соотношения в (*), получаем:

Тогда

 

Ответ: б) 18.

 

Приведём другое решение пункта б).

Пусть Тогда и пусть тогда По свойству секущих имеем:

 

Приведём третье решение пункта б).

Пусть угол при вершине A треугольника ABC равен 2α, AB = x. Тогда из прямоугольного треугольника ANM находим: Из треугольника MKC: таким образом, получаем уравнение:

Из последнего уравнения получаем те же ответы, что и в предыдущем решении x = 16 (постороннее решение) или x = 18.

 

 

Приведём еще одно решение пункта б).

Рассмотрим прямоугольный треугольник Если AB = x, то С другой стороны из треугольника по теореме косинусов имеем Составим уравнение:

Последнее уравнение уже дважды решено выше.


Аналоги к заданию № 509823: 511600 Все

Раздел: Алгебра
Источник: ЕГЭ по математике — 2015. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружности, Окружности и треугольники, Окружности и треугольники, Теорема косинусов