Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 513608
i

Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, I  — центр впи­сан­ной в него окруж­но­сти, H  — точка пе­ре­се­че­ния высот. Из­вест­но, что \angle BAC=\angle OBC плюс \angle OCB.

а)  До­ка­жи­те, что точка I лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BOC.

б)  Най­ди­те угол OIH, если \angle ABC=75 гра­ду­сов.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Точка O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти около тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му \angle BOC = 2\angle BAC. Зна­чит,

180 гра­ду­сов=\angle BOC плюс \angle OBC плюс \angle OCB = 2\angle BAC плюс \angle BAC=3\angle BAC,

от­ку­да \angle BAC=60 гра­ду­сов; \angle ABC плюс \angle ACB = 120 гра­ду­сов; \angle BOC=120 гра­ду­сов.

Найдём угол BIC:

\angle BIC=180 гра­ду­сов минус \angle IBC минус \angle ICB=

 

=180 гра­ду­сов минус дробь: чис­ли­тель: \angle ABC плюс \angle ACB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =180 гра­ду­сов минус дробь: чис­ли­тель: 120 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =120 гра­ду­сов.

Зна­чит, \angle BOC = \angle BIC, по­это­му точки B, O, I и C лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Найдём угол BHC:

\angle BHC=180 гра­ду­сов минус \angle HBC минус \angle HCB =
=180 гра­ду­сов минус левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов минус \angle ACB пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов минус \angle ABC пра­вая круг­лая скоб­ка = \angle ACB плюс \angle ABC = 120 гра­ду­сов.

Зна­чит, \angle BOC = \angle BIC = \angle BHC, по­это­му точки B, O, I, H и C лежат на одной окруж­но­сти.

По­сколь­ку \angle BAC=60 гра­ду­сов,\angle ABC = 75 гра­ду­сов, по­лу­ча­ем \angle ACB=45 гра­ду­сов. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BOC имеем:

\angle OBC= дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов минус \angle BOC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =30 гра­ду­сов.

Пря­мая BH пер­пен­ди­ку­ляр­на AC, по­это­му \angle HBC = 90 гра­ду­сов минус \angle ACB = 45 гра­ду­сов.

Зна­чит, \angle HBO = \angle HBC минус \angle OBC = 15 гра­ду­сов. Бис­сек­три­са угла тре­уголь­ни­ка лежит внут­ри угла, об­ра­зо­ван­но­го ме­ди­а­ной и вы­со­той, ис­хо­дя­щи­ми из той же вер­ши­ны, по­это­му лучи BH, BI и BO пе­ре­се­ка­ют дугу окруж­но­сти в ука­зан­ном на ри­сун­ке по­ряд­ке. Четырёхуголь­ник BOIH впи­сан в окруж­ность, по­это­му

\angle OIH = 180 гра­ду­сов минус \angle HBO=165 гра­ду­сов.

Ответ: б) 165°.

 

При­ме­ча­ние.

По­лез­но срав­нить часть а) этой за­да­чи с за­да­ни­ем 25 тре­ни­ро­воч­ной ра­бо­ты МИОО № 1 в фор­ма­те ГИА-⁠9 от 1 ок­тяб­ря 2013 года:

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60°. До­ка­жи­те, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окруж­но­сти.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 101
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр, Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025