Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 563597
i

Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом C. Про­ве­де­на вы­со­та CH. На сто­ро­нах AC и BC со­от­вет­ствен­но от­ме­че­ны точки M и N так, что угол MHN пря­мой.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки MNH и ABC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те BN, если AM = 9, MC = 3, BC = 8.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что сумма углов MHN и MCN равна 180°, по­это­му че­ты­рех­уголь­ник CMHN впи­сан в окруж­ность. Углы HMN и HCN равны как впи­сан­ные. Углы HCN и CAB равны, по­то­му что каж­дый из них равен 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle ABC. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки HMN и CAB по­доб­ны по двум углам. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что \angle CMH=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle CNH=\angle BNH, а \angle MCH=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle A=\angle B. По­это­му тре­уголь­ни­ки CMH и BNH по­доб­ны по двум углам, при­чем из пунк­та а) сле­ду­ет, что

дробь: чис­ли­тель: CM, зна­ме­на­тель: BN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: MH, зна­ме­на­тель: HN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Из этой це­поч­ки ра­венств по­лу­ча­ем, что BN=2.

 

Ответ: 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 563597: 563665 Все

Источники:
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, По­до­бие, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025