Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б) Найдите площадь треугольника АСВ.
а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть M, H, N — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. Поэтому
откуда p = AM, где Р — периметр, p — полупериметр треугольника.
б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:
Ответ: 
Примечание.
Примененная в пункте б) формула может быть получена из следующих соображений: 
где O1 — центр окружности с радиусом r1. При этом 
тогда
А потому
