Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 673246
i

Из точки A к окруж­но­сти про­ве­де­ны ка­са­тель­ная AM (M  — точка ка­са­ния) и се­ку­щая, пе­ре­се­ка­ю­щая окруж­ность в точ­ках K и L, при­чем точка L лежит между A и K, а тре­уголь­ник AMK  — ост­ро­уголь­ный. Рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды KM равно по­ло­ви­не ра­ди­у­са окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что угол AMK равен 60°.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMK, если AL : LK  =  4 : 3 и ра­ди­ус окруж­но­сти равен  2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим на ри­сун­ке точку O  — центр окруж­но­сти. Пусть от­ре­зок OH  — пер­пен­ди­ку­ляр к хорде MK. По усло­вию OM = 2OH, зна­чит, \angle OMH = 30 гра­ду­сов. Од­на­ко ра­ди­ус OM пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной AM, по­это­му \angle AMK = 60 гра­ду­сов.

б)  Пусть AL  =  4x, LK  =  3x. По тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей:

AM в квад­ра­те = AL умно­жить на AK рав­но­силь­но AM в квад­ра­те = 28x в квад­ра­те рав­но­силь­но AM = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та x.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OMH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра MH = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 умно­жить на 21 минус 21 конец ар­гу­мен­та = 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та . Сле­до­ва­тель­но, MK = 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та . По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке AMK:

левая круг­лая скоб­ка 7x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 28x в квад­ра­те плюс 36 умно­жить на 7 минус 2 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та x умно­жить на 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 49x в квад­ра­те = 28x в квад­ра­те плюс 252 минус 84x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 21x в квад­ра­те плюс 84x минус 252 = 0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 4x минус 12 = 0 \underset x боль­ше 0 \mathop рав­но­силь­но x = 2.

Ис­ко­мая пло­щадь равна

S_AMK = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AM умно­жить на MK умно­жить на синус 60 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 умно­жить на 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 42 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: б)  42 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 673246: 673265 Все

Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026