Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 530458
i

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны B и C тре­уголь­ни­ка ABC и пе­ре­се­ка­ет AB и AC в точ­ках C1 и B1 со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку AB1C1.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус дан­ной окруж­но­сти, если ∠A  =  45°, B1C1  =  6 и пло­щадь тре­уголь­ни­ка AB1C1 в во­семь раз мень­ше пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка BCB1C1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что

\angle AB_1C_1 плюс \angle C_1B_1C=180 гра­ду­сов.

Четырёхуголь­ник BCB1C1 впи­сан в окруж­ность, по­это­му

\angle C_1BC плюс \angle C_1B_1C=180 гра­ду­сов.

Зна­чит,

\angle AB_1C_1=\angle C_1BC=\angle ABC.

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ABC и AB1C1 по­доб­ны по двум углам.

б)  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка AB1C1 в во­семь раз мень­ше пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка BCB1C1, по­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC в де­вять раз боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AB1C1 и ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия этих тре­уголь­ни­ков равен 3. Пусть AB_1=x, тогда AB=3x. Найдём BB1 по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

BB_1 в квад­ра­те =x в квад­ра­те плюс 9x в квад­ра­те минус 6x умно­жить на x умно­жить на ко­си­нус 45 гра­ду­сов=x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 10 минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Сле­до­ва­тель­но,

BB_1=x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

Те­перь по тео­ре­ме си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка ABB1 по­лу­ча­ем:

дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: синус \angle AB_1B конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BB_1, зна­ме­на­тель: синус \angle A конец дроби рав­но­силь­но синус \angle AB_1B= дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: BB_1 конец дроби синус \angle A.

Но синус \angle AB_1B= синус \angle BB_1C, по­сколь­ку си­ну­сы смеж­ных углов равны. По­лу­ча­ем:

синус \angle BB_1C= дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: BB_1 конец дроби синус \angle A= дробь: чис­ли­тель: 3x, зна­ме­на­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Те­перь на­хо­дим ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BB1C:

2R= дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: синус \angle BB_1C конец дроби =6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 минус 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но R=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 минус 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

Ответ: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 минус 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 530458: 530560 Все

Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026