Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D — основание высоты, опущенной из вершины C. Точки O1 и O2 — центры окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD.
а) Докажите, что O1 и O2 лежат на отрезке EF .
б) Найдите расстояние от точки C до прямой O1O2, если AC = 15 и BC = 20.
а) Заметим. что отрезок CD перпендикулярен стороне AB и точка D лежит на стороне AB — касательной к окружности. Следовательно, CD — радиус окружности. Прямая CO1 — биссектриса угла ACD, прямая DO1 — биссектриса угла CDA. Отрезки CE и CD равны как радиусы, следовательно, треугольники CEO1 и CDO1 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
Тогда CE = CF, следовательно, 
а потому точка O1 лежит на луче EF и внутри треугольника ACD. Следовательно, точка O1 лежит на отрезке EF. Аналогично и точка O2 лежит на отрезке EF.
б) Достаточно найти расстояние от точки С до прямой EF. Треугольник CEF равнобедренный, следовательно, высота, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы. Находим:
Ответ: б) 