СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 526710

Окружность, касающаяся сторон AB и BC треугольника ABC, пересекает сторону AC в точках M и P, причем

а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, если а центр окружности лежит на высоте к стороне BC.

Решение.

а) Пусть N и Q — точки касания окружности со сторонами AB и BC. Пусть По теореме о секущей и касательной,

отсюда

Заметим, что как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Значит, и треугольник ABC — равнобедренный.

б) Пусть AQ — высота треугольника ABC, Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. Значит, точка O лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC. Поскольку треугольник ABC — равнобедренный, биссектриса угла B перпендикулярна стороне AC, и тогда O — точка пересечения высот треугольника ABC, то есть

Обозначим  — радиус окружности. Рассмотрим прямоугольные треугольники ACQ и ABQ. Из

Из отсюда

Треугольники AON и ABQ подобны по двум углам. Значит, или

Выразим r из этого уравнения, зная, что

Ответ:

 

Приведём другое решение пункта б):

 

По свойству секущей и касательной к окружности имеем:

По теореме Пифагора для треугольника имеем:

Вновь воспользуемся свойством секущих:

где r — искомый радиус,

откуда

Ответ:

Источник: Задача Анны Малковой
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности, Окружности и треугольники, Окружности и треугольники, Свойства высот