а)  Пусть пря­мая BQ пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AC в точке P, тогда

от­ку­да

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем:

Пусть BL  =  y, CL  =  2y, BK  =  2x, AK  =  x. По усло­вию че­ты­рех­уголь­ник AKLC впи­сан в окруж­ность, зна­чит, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ACB и LKB по­доб­ны по двум углам. Из по­до­бия сле­ду­ет, что

Пусть тогда По тео­ре­ме си­ну­сов имеем:

от­ку­да то есть тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Из пунк­та а) и тогда и По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка BKC по­лу­ча­ем:

Пусть точка I  — центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти, а I₁ и Q₁  — про­ек­ции точек I и Q на катет AC со­от­вет­ствен­но, тогда

Далее,

от­ку­да

Из пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции QII₁Q₁ по­лу­ча­ем:

Ответ: б)