Дан треугольник ABC со сторонами AC = 30, BC = 40 и AB = 50. Вписанная в него окружность с центром I касается стороны BC в точке L, M — середина BC, AP — биссектриса треугольника ABC, O — центр описанной около него окружности.
а) Докажите, что P — середина отрезка LM.
б) Пусть прямые OI и AC пересекаются в точке K, а продолжение биссектрисы AP пересекает описанную окружность
а) Из теоремы, обратной теореме Пифагора, следует, что треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине C. Пусть D — точка касания вписанной окружности треугольника с катетом AC, r — радиус этой окружности. Тогда CDIL — квадрат, поэтому
По свойству биссектрисы треугольника 
поэтому 
Значит,
Следовательно, LP = PM, что и требовалось доказать.
б) Центр O окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, а поскольку точка Q — середина дуги BC описанной окружности этого треугольника, точки Q, M и O лежат на серединном перпендикуляре к катету BC.
Пусть F — проекция точки I на среднюю линию OM треугольника ABC. Тогда
Отрезок CI — биссектриса треугольника ACP, поэтому 
Значит,
Треугольник AIO прямоугольный с прямым углом при вершине I, поскольку
поэтому отрезок AI перпендикулярен отрезку OK, то есть биссектриса AI треугольника OAK является его высотой. Значит, AO = AK = 25.
Четырёхугольник OKCQ — трапеция с основаниями CK = AC − AK = 5, OQ = OA = OB = 25 и высотой 
Следовательно, 
Ответ: б) 300.
Примечание.
Доказательство того, что отрезок AI перпендикулярен отрезку OK, может быть таким. Середина L отрезка CM — проекция точки I на прямую BC, а отрезок CM — проекция отрезка AQ на эту прямую. Значит, I — середина хорды AQ описанной окружности треугольника ABC. Следовательно, отрезок AI перпендикулярен отрезку OK.
Другой способ: найдя OF, сразу получаем
через равные треугольники IDK и IFO. Тогда 