СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 519666

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Решение.

а) Пусть b — боковая сторона треугольника, c — его основание, h —  высота, опущенная на основание треугольника.

Радиус вневписанной окружности вычисляется по формуле где p —  полупериметр треугольника, a —  сторона, которой касается окружность. Таким образом,

б) Пусть O2 — центр вписанной окружности. Проведем радиус в точку касания H. Трегольники AMC и CHO2 подобны по двум углам, поэтому

Так как то Тогда Найдем CH по теореме Пифагора. Получим, что

Тогда

Откуда получаем

 

Ответ: б)

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Вневписанная окружность, Вписанные окружности, Окружности, Окружности и системы окружностей, Окружности и системы окружностей, Окружности и треугольники, Окружности и треугольники