Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 563898
i

Окруж­ность с цен­тром О, по­стро­ен­ная на ка­те­те AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­ре, пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу AB в точ­ках A и D. Ка­са­тель­ная, про­ве­ден­ная к этой окруж­но­сти в точке D, пе­ре­се­ка­ет катет BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  CM.

б)  Пря­мая DM пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке P, пря­мая OM пе­ре­се­ка­ет пря­мую BP в точке K. Най­ди­те BK : KP, если ко­си­нус \angle BAC = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что впи­сан­ный угол ADC опи­ра­ет­ся на диа­метр, по­это­му CD  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Далее, MC  =  MD как ка­са­тель­ные к окруж­но­сти (MC  — ка­са­тель­ная, по­сколь­ку угол MCO пря­мой). Тре­уголь­ник MCD рав­но­бед­рен­ный, по­это­му углы MCD и MDC равны. Далее вы­чис­лим:

\angle MDB=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle MDC=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle MCD=\angle MBD.

От­сю­да MB  =  MD, а зна­чит, и BM  =  CM. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что OM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му от­рез­ки OK и AB па­рал­лель­ны. От­сю­да

BK:KP=DM:MP=CM:MP= ко­си­нус \angle CMP.

Вы­чис­лим от­но­ше­ние BK к KP:

ко­си­нус \angle CMP= ко­си­нус 2\angle MCD= ко­си­нус 2\angle BAC=2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 563898: 563919 Все

Источники:
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр, Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025