В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O, которая касается стороны AB в точке К. Окружность в точке O1 касается стороны AB в точке L, а также продолжений сторон АС и ВС.
а) Докажите, что около четырёхугольника AOBO1 можно описать окружность.
б) Найдите площади четырёхугольников AOBO1 и KOLO1, если известно, что AB = 8, AC = 6, BC = 10.
а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Угол между биссектрисами смежных углов прямой, поэтому
Тогда 
следовательно, около четырёхугольника AOBO1 можно описать окружность.
б) Треугольник CAB прямоугольный, поскольку
Имеем: 
и 
тогда треугольник AKO равнобедренный, откуда следует, что AK = KO. Найдем OK по формуле 
Получаем:
Пусть окружность с центром O1 касается прямых AC и BC в точках E и F соответственно. Тогда 
откуда 
Треугольник ALO1 равнобедренный, значит, 
Находим площадь четырёхугольника AOBO1
и площадь четырёхугольника KOLO1
Ответ: б) 32 и 16.