ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 642334 Добавить в вариант

Дана прямая призма ABCA₁B₁C₁. ABC  — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB  =  3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B₁C₁. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость α, перпендикулярная PQ.

а)  Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.

б)  Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA₁  =  5, AB  =  12 и $косинус \angle ABC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Докажем, что прямые AB и PQ перпендикулярны, отсюда и будет следовать, что сторона AB параллельна плоскости α.

Проведём высоту CH треугольника ABC. Он равнобедренный, поэтому H  — середина AB. По теореме Фалеса для угла CBA перпендикуляр из точки M на прямую AB делит HB пополам, поэтому его основание и есть точка P. Осталось заметить, что отрезок QM перпендикулярен BC и, в силу того, что боковая грань призмы перпендикулярна основанию, плоскости ABC. Тогда по тереме о трёх перпендикулярах сторона AB перпендикулярна отрезку PQ. Таким образом, прямая AB параллельна плоскости α.

б)  В треугольнике ABC имеем: cos $ABC = дробь: числитель: BH , знаменатель: BC конец дроби ,$ откуда BC  =  10, а также CH  =  8 по теореме Пифагора, и MP  =  4, как средняя линяя треугольника. Отсюда $QM = BB_1 = AA_1 = 5.$

Пусть точка X  — точка пересечения α и отрезка PQ. Тогда отрезок MX перпендикулярен отрезку PQ по определению перпендикулярности прямой и плоскости. Рассмотрим прямоугольный треугольник PQM: в нем отрезок MX  — высота, проведенная к гипотенузе. Основание высоты делит гипотенузу в отношении квадратов катетов, откуда $PX:XQ = 16:25.$

Ответ: б)  16 : 25.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источники:

Задания 13 ЕГЭ–2023;

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Задания Дальнего Востока;

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Дальний Восток. Вариант 1.

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах, Свойства высот, Теорема Фалеса

Классификатор стереометрии: Параллельность прямой и плоскости, Прямая треугольная призма, Сечение, проходящее через три точки, Деление отрезка

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь