Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересекает его диагональ AC в точке M, диагональ BD — в точке N, причем AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь ромба, если MN = 5.
Решение.
Спрятать критерииа) Пусть BN = x и
точка O — точка пересечения AС и BD. Точка P — точка пересечения MN и AD, отрезок OH — высота треугольника AOD. Тогда
Следовательно, 
где 
и 
Треугольники AOH и ODH подобны, следовательно, 
где 
то есть 
Находим:
тогда
Итого:
б) Пусть 
Тогда 
откуда 
или 
Заметим, что
следовательно, 
Получаем 
следовательно, 
откуда 
Итого находим площадь ромба ABCD:
Ответ: б) 
Источники:
Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии
Классификатор планиметрии: Четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями, Подобие