PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 38, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции.
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 52, средняя линия равна 21. Найдите боковую сторону трапеции.
Площадь параллелограмма ABCD равна 96. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь треугольника ABE.
Площадь параллелограмма ABCD равна 155. Точка E — середина стороны 
Найдите площадь треугольника 
Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка G — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции ABGD.
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 162. Найдите объём конуса.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 57.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 17 из России, 22 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Польши и 4 прыгуна из Дании. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвёртым будет выступать прыгун из Польши.
На конференцию приехали 7 ученых из Сербии, 3 из России и 2 из Дании. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад учёного из России.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Дании, 6 из Швеции, 4 из Норвегии и 7 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Норвегии.
В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 6 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из Италии.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.
За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до тысячных.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.
За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.
Найдите корень уравнения 
Решите уравнение 
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображён график 
— производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены шесть точек x1, x2, x3, x4, x5, x6. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
На рисунке изображен график дифференцируемой функции 
и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки используется линза с фокусным расстоянием f, равным 20 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 до 50 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 100 до 120 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение 
На каком наименьшем расстоянии d1 (в см) от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким.
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием 
см. Расстояние 
от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 95 до 115 см, а расстояние 
от линзы до экрана — в пределах от 140 до 160 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием 
Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 15 до 40 см, а расстояние от линзы до экрана — в пределах от 100 до 120 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение
Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала 
и определяется следующим выражением: 
(Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а 
и 
—
Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 112 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?
Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 112 литров первая труба заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба?
Смешали некоторое количество 19-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Заказ на изготовление 238 деталей первый рабочий выполнит на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 3 детали больше?
На рисунке изображены графики функций 
и 
которые пересекаются в точках
На рисунке изображены графики функций
и 
которые пересекаются в точках
На рисунке изображены графики функций видов
и 
пересекающиеся в точках
На рисунке изображены графики функций 
и 
которые пересекаются в точках
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [34; 42].
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [9; 36].
Укажите наибольшее значение 
на отрезке [3; 21].
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
а) Решить уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Дана прямая призма ABCA1B1C1. ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена
а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA1 = 5, AB = 12 и 
Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит ромб ABCD со стороной 10. Известно, что 
и 
а) Докажите, что ребро SD перпендикулярно плоскости основания пирамиды SABCD.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и SB.
Решите неравенство: 
Решите неравенство 
Решите неравенство 
Решите неравенство 
В июле 2023 года планируется взять кредит на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2033 года долг должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на
— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2030 года долг должен составлять 800 тыс. руб.;
— в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?
Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересекает его диагональ AC в точке M, диагональ BD — в точке N, причем AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь ромба, если MN = 5.
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы углов BAD и BCD пересекаются в точке O. Точки M и N отмечены на боковых сторонах AB и CD соответственно. Известно, что 
и 
а) Докажите, что точки M, N и O лежат на одной прямой.
6) Найдите 
если известно, что 
и 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
система уравнений имеет ровно 2 решения.
На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.
а) Может ли быть верным уравнение 
если 
б) Может ли быть верным уравнение если 
в) Найдите наибольшее число A до 900 для которого выполняется 
Есть трёхзначное число A, которое написал Петя. Костя и Ваня вычёркивают по одной цифре в числе, получаются двухзначные числа B и C, причём и Костя и Ваня могут вычеркнуть одинаковые цифры
а) Может ли быть верно равенство 
если 
б) Может ли быть верно равенство если 
в) Какое максимальное A соответствует условию.
Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A = 7, B = 11.
а) Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?
а 
получаем
Тогда 
где S — площадь основания, а h — высота конуса. Объем цилиндра равен 
и поэтому он в 3 раза больше объема конуса. Тем самым, объем конуса равен 54. 
где r — радиус основания, h — высота, l — образующая. В силу соотношения 
учитывая, что 
получим: 
Тогда 
откуда находим квадрат радиуса: 
откуда, учитывая, что 
спортсменок из Китая. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна
спортсменок из Канады. Тогда, вероятность того, что спортсменка, выступающая первой окажется из Канады равна: 
и 
Тогда, вероятность того, что стреок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последующие, равна 
имеем: 
значению соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность 
в правой части равенства достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого 
которое достигается при наибольшем возможном значении знаменателя 
Поэтому 
откуда
см.
имеем: 
в правой части равенства достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого 
откуда
см.
Гц при известных значениях 
м/с и 
м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно:
— объем воды, пропускаемой второй трубой в минуту, тогда первая труба пропускает 
литров
литров воды в минуту. Резервуар объемом 112 литров первая труба заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба, отсюда имеем:
Пусть масса получившегося раствора 
Таким образом, концентрация полученного раствора равна:
деталей. На изготовление 238 деталей первый рабочий тратит на 3 часа меньше, чем второй рабочий, отсюда имеем:
Тогда 
Теперь найдем абсциссу 
тогда 
откуда 
Значит, функция f задается формулой 
Угловой коэффициент a равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс, поэтому 
По графику g(2) = 1, тогда 
откуда 
Значит, уравнение прямой имеет вид 
и найдем производную этой функции: 
принадлежит отрезку [9; 36]. При данном значении аргумента функция принимает минимальное значение: 
и найдем производную этой функции:
б) 
откуда получаем:
тогда:
равен −1, поэтому оно не имеет корней. Уравнение 
имеет корень 
Вернемся к исходной переменной, получим:
б) 
б) 
откуда BC = 10, а также CH = 8 по теореме Пифагора, и MP = 4, как средняя линяя треугольника. Отсюда 
Из равнобедренного треугольника ASC получаем: 
По теореме косинусов для треугольника SOB находим:
Следовательно, по теореме косинусов для треугольника SOD
откуда 
Аналогично 
откуда 
Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая SD перпендикулярна плоскости ABCD.
Для таких значений переменной находим:
или 
:
Для таких значений переменной получаем:
Для таких значений переменной получаем:
тысяч рублей. Каждая выплата состоит из суммы, на которую уменьшается долг, и суммы начисленных процентов. Составим таблицу.
тысяч рублей в первые 5 лет и на 160 тысяч рублей в последние 5 лет. Каждая выплата состоит из суммы, на которую уменьшается долг, и суммы начисленных процентов. Составим таблицу.
Таким образом, находим: 
тысяч рублей.
точка O — точка пересечения AС и BD. Точка P — точка пересечения MN и AD, отрезок OH — высота треугольника AOD. Тогда
где 
и 
Треугольники AOH и ODH подобны, следовательно, 
где 
то есть 
Находим:
Тогда 
откуда 
или 
Заметим, что 
Получаем 
следовательно, 
откуда 
поэтому 
и 
следовательно, треугольник AMO равнобедренный, а значит, 
Тогда 
откуда следует, что отрезок MO параллелен стороне AD, поскольку накрест лежащие углы при секущей AO равны. Аналогично отрезок NO параллелен стороне BC. Следовательно, поскольку стороны BC и AD параллельны, точки М и N лежат на прямой, параллельной основаниям и проходящей через точку O. Что и требовалось доказать.
тогда 
и 
Треугольник AOC равнобедренный, поэтому
и 
следовательно, 
значит, 
Поэтому
значит, 
Тогда по теореме Пифагора в треугольнике CHD:
Значит, 
— это половина угла в египетском треугольнике напротив большего катета. Проведём в таком треугольнике биссектрису и воспользуемся её свойством:
при этом 
следовательно, 
В равнобедренном треугольнике AMO положим 
тогда 
Далее, пусть 
По свойству равнобедренной трапеции 
то есть 
тогда в равнобедренном треугольнике CNO имеем:
то есть 
В прямоугольном треугольнике AOP находим, что 
Тогда треугольники AOP и COE равны по гипотенузе и острому углу. Откуда 
и 
получаем уравнение:
не подходит, поскольку угол α острый. Следовательно, 
а потому искомое отношение равно 1 : 2.
заключаем, что Гипербола 
и прямая 
пересекаются в точках 
и 
Поэтому в системе координат xOy графиком полученной системы будет объединение прямой 
лежащих не ниже прямой 
прямая 
проходит через точку D, при 
— через точку С. Подставим координаты точки D, получим:
имеет один корень:
(соответствующая прямая выделена на рисунке синим) или 
(выделено зеленым). При 
или при 
прямая пересекает гиперболу в двух точках. Если 
то прямая и гипербола не имеют общих точек.
прямая 
— общую точку A(−2; 5). Тогда исходная система:
имеет одно решение;
— два решения;
— три решения;
— два решения;
— одно решение;
— два решения;
— три решения.
или 
Докажем, что для больших чисел описанная ситуация невозможна. Очевидно, число 811 не получается перемножением чисел 81 и 11 в любых комбинациях.
что невозможно. Если ни одно ее не сохраняет, то B = C и 
но 
Докажем, что для больших чисел описанная ситуация невозможна. Очевидно 911 не получается перемножением чисел 91 и 11 в любых комбинациях.
что невозможно. Если ни одно ее не сохраняет, то 
и 
с каждым ходом сумма чисел будет возрастать на 1.
значит, второе число пары не будет натуральным. Это запрещено.
ходов.
и не кратна трем, поэтому она никогда не станет равна нулю. Значит, сделать числа 50 и 50 не получится.
и будет сделано не более 
хода.
Затем 40 раз повторить пару ходов 