ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 642413 Добавить в вариант

Есть трёхзначное число A, которое написал Петя. Костя и Ваня вычёркивают по одной цифре в числе, получаются двухзначные числа B и C, причём и Костя и Ваня могут вычеркнуть одинаковые цифры

а)  Может ли быть верно равенство $A=B умножить на C,$ если $A больше 130.$

б)  Может ли быть верно равенство $A=B умножить на C,$ если $540 меньше A меньше или равно 600.$

в)  Какое максимальное A соответствует условию.

Спрятать решение

Решение.

а)  Да, например, $15 умножить на 10 = 150.$

б)  Все числа в данном диапазоне начинаются с пятерки, а если ее вычеркнуть  — будут не меньше 40 (если же ее оставить  — тоже будут не меньше 40 и даже 50). Значит, произведение двух двузначных чисел будет не меньше

$40 умножить на 40 = 1600 больше 600 больше A.$

в)  Заметим что $910 = 91 умножить на 10.$ Докажем, что для больших чисел описанная ситуация невозможна. Очевидно 911 не получается перемножением чисел 91 и 11 в любых комбинациях.

Если есть подходящее число в диапазоне от 912 до 999, то оно начинается на 9. Если оба двузначных сохраняют в себе эту девятку, то их произведение больше чем $90 в квадрате больше 999,$ что невозможно. Если ни одно ее не сохраняет, то $B = C$ и $A=B в квадрате ,$ но

$30 в квадрате = 900 меньше 912 меньше 31 в квадрате = 961 меньше 1024 = 32 в квадрате ,$

значит, единственным подходящим числом могло бы быть 961, но $61 в квадрате не равно 961.$

Итак, одно из чисел состоит из двух последних цифр числа A (и потому не меньше 12), а второе сохраняет первую цифру (и не меньше 90), значит, их произведение не меньше

$90 умножить на 12 = 1080 больше 1000 больше A.$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  910.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 642341: 642413 642506 642576 ...642413 642506 642576 642646 642716 Все

Источники:

Задания 18 ЕГЭ–2023;

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Задания Дальнего Востока.

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь