1. Тип 15 № 507258 
Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию
Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации
i
Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство методом рационализации:
Ответ: (−4; −3) ∪ (−1; 3).
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: (−4; −3) ∪ (−1; 3).
507258
(−4; −3) ∪ (−1; 3).
Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию
Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
из второго — 
третий не дает корней.
совпадает со знаком выражения 
Знак множителя 
совпадает со знаком выражения 
которое на области определения неравенства всегда положительно.
получаем:
то
то
Напомним, что области определения неравенство 
равносильно неравенству 
:
получаем: 
получаем 
или 
при всех 
При условиях 
и 
методом рационализации получаем неравенство
или 
или 
на ОДЗ совпадает со знаком произведения 
Имеем:
или 
при любых значениях х. Значит, логарифм положителен, если его основание больше 1, т. е. при 
и отрицателен, если его основание меньше 1, если 
выражение 3x + 7 положительно, а при 
исходное неравенство равносильно неравенству 
откуда 
имеют одинаковые знаки. Поэтому при условиях 
при любых значениях x. Значит, выражение 
положительно при 
отрицательно при 
и не определено при 
и 
выражение 
положительно, а при 
исходное неравенство равносильно неравенству 
откуда 
Таким образом, решение исходного неравенства: 
и 
Для таких значений переменной числитель и знаменатель аргумента логарифма положительны, поэтому, учитывая равенство 
имеем:
следует, что 
Тогда 
поскольку основание этого логарифма больше 2, аргумент больше 1, причем аргумент меньше основания. Тогда для выполнения неравенства основание внешнего логарифма должно быть меньше 1, откуда 
при 
в виде 
на ОДЗ совпадает со знаком дроби 
Поэтому исходное неравенство равносильно системе
разложим квадратный трёхчлен на множители, воспользуемся методом рационализации и методом интервалов:
Применим ее к обеим частям неравенства и воспользуемся методом рационализации:
то есть при 
тогда
тогда исходное неравенство принимает вид
получаем:
не дает.
сложим их, затем перейдем к основанию 6 и вычтем из полученной левой части правую часть неравенства; затем применим метод рационализации:
тогда
и применим метод рационализации:
Применим метод рационализации:
:
имеем: 
откуда 
то есть 
Полученное неравенство решим методом рационализации:
и 
используя геометрический смысл модуля. Решение первого уравнения — множество точек числовой прямой, находящихся на расстоянии 1 от точки 
Это точки 
и 
равна 4. Это точки 
или 
Преобразуем неравенство при этом ограничении.
Тогда
или 
верно неравенство 
а потому выражение в скобках положительно, и на него можно разделить. Далее применим метод рационализации:
верны равенства 
и 
совпадают, а потому исходное неравенство равносильно следующим:
что равносильно неравенству 
Тогда:
На этом множестве справедливо тождество 
тогда
