Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 648012
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка 5 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 20 минус 5 x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x боль­ше или равно x в квад­ра­те минус 6 .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что при x мень­ше 4, x не равно 3 верны ра­вен­ства

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка 5} = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 5 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ,

1 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 20 минус 5 x пра­вая круг­лая скоб­ка = 1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 5 левая круг­лая скоб­ка 5 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = 1 минус левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 5 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 5 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ,

тогда

 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка 5 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 20 минус 5 x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x боль­ше или равно x в квад­ра­те минус 6 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

При­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции: на об­ла­сти опре­де­ле­ния ло­га­риф­ма знаки вы­ра­же­ний  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a b минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a c и  левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b минус c пра­вая круг­лая скоб­ка сов­па­да­ют, а по­то­му ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но сле­ду­ю­щим:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 36 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, x мень­ше 4, x не равно 3 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 5 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3 x минус 40 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, x мень­ше 4, x не равно 3, x в квад­ра­те плюс 3 x минус 4 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, x мень­ше 4, x не равно 3, левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 8 мень­ше или равно x мень­ше минус 4, 1 мень­ше x мень­ше 3. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 8; минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Это же ре­ше­ние можно за­пи­сать не­сколь­ко иначе.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка 5 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 20 минус 5 x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x боль­ше или равно x в квад­ра­те минус 6 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка 5 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 минус левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 5 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус x в квад­ра­те плюс x плюс 6 \geqslant0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка 5 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка 5 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка 5 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка 5 конец дроби минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 6 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, x мень­ше 4, x не равно 3 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те плюс 3x минус 4 минус 36, зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби боль­ше или равно 0, x мень­ше 4, x в квад­ра­те плюс 3 x минус 4 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби боль­ше или равно 0 , x мень­ше 4, левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x плюс 8, зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби мень­ше или равно 0 , x мень­ше 4, левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 8 мень­ше или равно x мень­ше минус 4, 1 мень­ше x мень­ше 3. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 8; минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 442
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства пер­вой и вто­рой сте­пе­ни от­но­си­тель­но ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции
Методы алгебры: Метод ин­тер­ва­лов, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли