Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 559576
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 1 мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2x минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Найдём ОДЗ дан­но­го не­ра­вен­ства:

си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 0,x не равно 1,2x минус x в квад­ра­те боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 0 мень­ше x мень­ше 1,1 мень­ше x мень­ше 2. конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что на ОДЗ

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 2x минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка x левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x x плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 1 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ,

а также

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =4 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пусть t= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , тогда ис­ход­ное не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид

4t плюс 1\leqslant левая круг­лая скоб­ка 1 плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 2t\geqslant0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t\leqslant0,t\geqslant2. конец со­во­куп­но­сти .

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной и при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции. Для не­ра­вен­ства t\leqslant0 по­лу­ча­ем:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: \lg левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм x конец дроби \leqslant0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 2 минус x минус 1, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби \leqslant0,0 мень­ше x мень­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x не равно 1,0 мень­ше x мень­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 0 мень­ше x мень­ше 1,1 мень­ше x мень­ше 2. конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что най­ден­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства t\leqslant0 сов­па­да­ет с ОДЗ ис­ход­но­го не­равн­ства, а по­то­му все числа из ОДЗ яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми, а зна­чит, иных ре­ше­ний не­ра­вен­ство t боль­ше или равно 2 не дает.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 341
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Не­ра­вен­ства пер­вой и вто­рой сте­пе­ни от­но­си­тель­но ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции, Об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств. Ло­га­риф­мы
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026