Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 529580
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

В за­ви­си­мо­сти от ве­ли­чи­ны ос­но­ва­ния ло­га­риф­ма не­ра­вен­ство рас­щеп­ля­ет­ся на две си­сте­мы:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant1 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше 2x плюс 4 мень­ше 1,0 мень­ше x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 мень­ше или равно 2x плюс 4, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x плюс 4 боль­ше 1,x в квад­ра­те минус 3x плюс 10\geqslant2x плюс 4. конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Решим первую си­сте­му со­во­куп­но­сти:

си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше 2x плюс 4 мень­ше 1,0 мень­ше x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 мень­ше или равно 2x плюс 4 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний минус 4 мень­ше 2x мень­ше минус 3,x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 боль­ше 0,x в квад­ра­те минус 5x плюс 6\leqslant0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний минус 2 мень­ше x мень­ше минус 1,5, левая круг­лая скоб­ка x минус 1,5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 7,75 боль­ше 0,2 мень­ше или равно x\leqslant3 конец си­сте­мы .

по­лу­чен­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Зна­чит, ре­ше­ние ис­ход­но­го не­ра­вен­ства сов­па­да­ет с ре­ше­ни­ем вто­рой си­сте­мы со­во­куп­но­сти. Решим её:

си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x плюс 4 боль­ше 1,x в квад­ра­те минус 3x плюс 10\geqslant2x плюс 4 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x боль­ше минус 3,x в квад­ра­те минус 5x плюс 6\geqslant0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше минус 1,5, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x\leqslant2,x\geqslant3 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 1,5 мень­ше x\leqslant2,x\geqslant3. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 1,5;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пе­рейдём к де­ся­тич­ным ло­га­риф­мам и ис­поль­зу­ем метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: \lg левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \lg левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби \geqslant1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: \lg левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка минус \lg левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \lg левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби \geqslant0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 минус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2x плюс 4 минус 1 конец дроби \geqslant0,x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 боль­ше 0,2x плюс 4 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 5x плюс 6, зна­ме­на­тель: 2x плюс 3 конец дроби \geqslant0, левая круг­лая скоб­ка x минус 1,5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 7,75 боль­ше 0,x боль­ше минус 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 1,5 мень­ше x\leqslant2,x\geqslant3. конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 1,5;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Из­ло­жим вто­рую идею иначе.

За­пи­шем не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant1 в виде

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0

и вос­поль­зу­ем­ся тем, что знак раз­но­сти ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a b минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a c на ОДЗ сов­па­да­ет со зна­ком дроби дробь: чис­ли­тель: b минус c, зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби . По­это­му ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но си­сте­ме

си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 минус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2x плюс 4 минус 1 конец дроби \geqslant0,x в квад­ра­те минус 3x плюс 10 боль­ше 0,2x плюс 4 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 5x плюс 6, зна­ме­на­тель: 2x плюс 3 конец дроби \geqslant0, левая круг­лая скоб­ка x минус 1,5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 7,75 боль­ше 0,x боль­ше минус 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 1,5 мень­ше x\leqslant2,x\geqslant3. конец со­во­куп­но­сти .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 290
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства
Методы алгебры: Метод ин­тер­ва­лов, Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств. Ло­га­риф­мы
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025