ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 508513 Добавить в вариант

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 8.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифма:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 8 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в степени 8 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка больше или равно 8 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 8 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в степени 8 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка больше или равно 8 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 8 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в степени 8 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка больше или равно 8 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Рассмотрим два случая. Первый случай: $0 меньше 4 минус x меньше 1.$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0, 0 меньше 4 минус x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений x плюс 5 больше или равно 1, 3 меньше x меньше 4 конец системы . равносильно 3 меньше x меньше 4.$

Второй случай: $4 минус x больше 1.$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0, 4 минус x больше 1 конец системы . равносильно система выражений 0 меньше x плюс 5 меньше или равно 1, x меньше 3 конец системы . равносильно минус 5 меньше x меньше или равно минус 4.$

Решение неравенства: $минус 5 меньше x меньше или равно минус 4$ или $3 меньше x меньше 4.$

Приведём другое решение.

Заметим, что

$логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 , знаменатель: x плюс 5 конец дроби \geqslant8 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка \geqslant8 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка \leqslant0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 , знаменатель: x плюс 5 конец дроби \geqslant8 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка \geqslant8 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка \leqslant0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 , знаменатель: x плюс 5 конец дроби \geqslant8 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка \geqslant8 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка \leqslant0.$

Воспользуемся методом рационализации:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно \begincases левая круглая скобка 4 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 минус 1 правая круглая скобка \leqslant0, 4 минус x больше 0, 4 минус x не равно q1, x плюс 5 больше 0. \endcases равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \leqslant0, x меньше 4, x не равно q3, x больше минус 5. \endcases равносильно совокупность выражений минус 5 меньше x\leqslant минус 4,3 меньше x меньше 4. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка 4 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 минус 1 правая круглая скобка \leqslant0, 4 минус x больше 0, 4 минус x не равно q1, x плюс 5 больше 0. \endcases равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \leqslant0, x меньше 4, x не равно q3, x больше минус 5. \endcases равносильно совокупность выражений минус 5 меньше x\leqslant минус 4,3 меньше x меньше 4. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 5; минус 4 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 508513: 508531 508533 508535 ...508531 508533 508535 508579 511565 Все

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь